Главная Страхование Страхування - Осадець С.С.

Страхування - Осадець С.С.

18.2. Визначення тарифів за договорами страхування життя

Страхова виплата за договорами страхування життя здійснюється одноразово в розмірі страхової суми (її частини) і/або у вигляді послідовних виплат страхової суми (додаткове забезпечення доходу застрахованої особи в разі її хвороби, досягнення нею віку, який визначено у договорі страхування, настання певних подій у її житті).

страхові виплати здійснюються в разі:

• смерті застрахованої особи;
• дожиття застрахованої особи до закінчення строку дії договору страхування;
• досягнення застрахованою особою пенсійного віку (страхування додаткової пенсії) або віку, який визначено в договорі страхування;
• настання події в житті застрахованої особи, яка обумовлена у договорі страхування (укладання шлюбу, народження дитини, вступ до навчального закладу, смерть близького родича застрахованої особи — дружини, чоловіка, дітей, батьків).

Умови договору страхування життя можуть додатково передбачати обов’язок страховика здійснити страхові виплати в разі:

• хвороби застрахованої особи;
• тимчасової непрацездатності застрахованої особи внаслідок нещасного випадку;
• стійкої непрацездатності (інвалідності) застрахованої особи внаслідок нещасного випадку.

Основні статистичні параметри у страхуванні життя. Нетто-тариф за договором страхування життя для кожного з наведених щойно страхових ризиків (страхових подій) визначають з урахуванням статистичних закономірностей страхових ризиків протягом дії договору страхування та інвестиційного доходу від розміщення страхових резервів.

математичною моделлю випадкових процесів дожиття та смертності, непрацездатності, хвороби в разі переходу застрахованих осіб з однієї вікової категорії в іншу є регіональні таблиці дожиття та смертності і відповідні регіональні чи селективні (за статтю, станом здоров’я, тривалістю непрацездатності або хвороби, професією, регіоном проживання тощо) статистичні таблиці страхових ризиків, що їх формують страховики.

При визначенні нетто-тарифу за договором страхування життя використовують:

• регіональну або селективну таблицю дожиття та смертності;
• регіональні або селективні таблиці додаткових страхових ризиків;
• річну ставку інвестиційного доходу i;
• таблиці комутаційних чисел для встановленої в договорі страхування річної ставки інвестиційного доходу та ймовірностей відповідних страхових ризиків.

Основні параметри таблиці дожиття та смертності:

lx — кількість осіб, що дожили до віку x років (змінна x позначає повну кількість років застрахованої особи на час укладення договору страхування життя);

— кількість осіб у віці x років, які не доживуть до віку x + 1 рік, при цьому:

;

— коефіцієнт смертності для особи у віці x років (імовірність смерті протягом року для особи у віці x років), при цьому:

;

— імовірність дожити до віку x + 1 для особи у віці x років;

— імовірність смерті протягом t років для особи у віці x років;

— імовірність прожити не менш ніж t років для особи у віці x років, при цьому:

,

звідки

; ; ;

; .

При укладанні договору страхування життя, умови якого передбачають страхові ризики, які щойно визначено, для кожного із цих страхових ризиків розраховують відповідні статистичні таблиці, розрізняючи їх за допомогою індексів (j = 0, 1, 2 ...), при цьому індекс j = 0 використовують для таблиць дожиття та смертності.

Основні параметри статистичних таблиць додаткових ризиків такі:

lx — кількість осіб, котрі дожили до віку x років (має дорівнювати значенню такого самого параметра в таблиці дожиття та смертності);

— кількість осіб у віці x років, для яких j-та страхова подія настане протягом року (до настання віку x + 1 рік);

— кількість осіб у віці x років, для яких j-та страхова подія настане протягом t років (на проміжку часу від х до x + t років);

— імовірність настання протягом року j-ї страхової події для особи у віці x років;

— імовірність настання протягом t років j-ї страхової події для особи у віці x років, при цьому

;

— імовірність того, що j-та страхова подія не настане протягом t років для особи у віці x років.

Розрахунки нетто-тарифів за договорами страхування життя виконують на основі статистичних таблиць страхових ризиків. При цьому для кожного страхового ризику розраховують такі комутаційні числа:

; ;

; ;

; ,

де w — граничний згідно з таблицею смертності вік;

t — змінний індекс, що дорівнює повній кількості років з часу початку дії договору страхування життя;

n — дисконтувальний множник, який для встановленої річної ставки інвестиційного доходу i визначається співвідношенням:

.

Таблиця комутаційних чисел складається для всіх значень віку x та ставки i річного інвестиційного доходу, застосовуваних у розрахунках нетто-тарифу.

Страхові ануїтети. Страховий ануїтет — це послідовність страхових платежів або страхових виплат двох видів:

ануїтет пренумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється на початку кожного обумовленого періоду часу;

ануїтет постнумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється в кінці кожного обумовленого періоду часу.

Річні ануїтети — це послідовність страхових платежів або страхових виплат, які здійснюються один раз на рік.

Дійсна вартість страхових ануїтетів (сподівана вартість майбутніх страхових платежів або майбутніх страхових виплат на час укладення договору страхування) визначається, як правило, в розрахунку на одну грошову одиницю річних ануїтетів постнумерандо. Інші можливі варіанти платежів — піврічні, щоквартальні та щомісячні страхові ануїтети як постнумерандо, так і пренумерандо визначаються через річні ануїтети постнумерандо.

Дійсна вартість річних страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору страхування життя для застрахованої особи у віці x років у загальному випадку розраховується аналітично за формулою

,

де P(t) — імовірність настання страхової події для застрахованої особи за проміжок часу від t до t + 1 року дії договору;

значення цілого індексу t визначає порядок року в межах терміну дії договору страхування;

значення b(t) визначає розмір річного страхового платежу або річної страхової виплати.

Дисперсія таких ануїтетів визначається так:

,

де 2a(t) — ануїтет виду

.

Дійсна вартість страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору страхування життя визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел з урахуванням даних статистичних таблиць для кожного страхового ризику:

• при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануїтету ax, який щороку сплачується в розмірі одиниця (випадок b(t) = 1), поки застрахована у віці x років особа жива, визначається ймовірністю P(t) = та обчислюється за допомогою співвідношень:

або ;

• при укладанні договору страхування життя на строк n років дійсна вартість страхового ануїтету , який протягом n років щороку сплачується в розмірі одиниця, поки застрахована у віці x років особа жива, визначається ймовірністю та розраховується за допомогою співвідношень:

або ;

• при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануїтету (Ia)x, який сплачується в розмірі одиниця за кожний рік дії договору (випадок b(t) = t), поки застрахована у віці x років особа жива, визначається ймовірністю P(t) = та обчислюється за допомогою співвідношень:

або ;

• при укладанні договору страхування життя на строк n років дійсна вартість страхового ануїтету , який протягом n років сплачується в розмірі одиниця за кожен рік дії договору, поки застрахована у віці x років особа жива, визначається ймовірністю та обчислюється за допомогою співвідношень:

або

;

• при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати jAx визначається ймовірністю та розраховується за допомогою співвідношень:

або ;

• при укладанні договору страхування життя на строк n років на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати визначається за допомогою співвідношень:

або .

приклад. При укладанні договору страхування життя на строк n років, умови якого передбачають страхову подію «стійка непрацездатність (інвалідність) застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати визначається ймовірністю та обчислюється за формулою

,

де — імовірність настання протягом року інвалідності внаслідок нещасного випадку для застрахованої у віці x років особи; при цьому випадок n = ¥ визначає дійсну вартість страхового ануїтету без обмеження терміну дії договору:

;

• при укладанні договору страхування життя, умови якого передбачають страхову подію «дожиття застрахованої у віці x років особи до закінчення строку дії договору» (n — кількість років дії договору страхування), дійсна вартість одиниці страхової виплати визначається так:

або .

при укладанні договору страхування життя, умови якого передбачають страхову подію «хвороба застрахованої особи» або страхову подію «тимчасова непрацездатність застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці страхової виплати за кожний день хвороби (непрацездатності) визначається ймовірністю

і пропорційна до значень середньої за рік кількості М(L) днів хвороби (тимчасової непрацездатності) і середньої за рік кількості М(N) захворювань для застрахованої особи та обчислюється за допомогою співвідношення

,

де — імовірність настання протягом року хвороби (тимчасової непрацездатності) для застрахованої у віці x років особи. При цьому випадок n = ¥ визначає дійсну вартість страхового ануїтету без обмеження терміну дії договору

.

Дійсна вартість страхових ануїтетів пренумерандо (позначення з двома крапками над виразом) у розрахунку на одну грошову одиницю річних платежів або виплат визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел через дійсну вартість відповідних ануїтетів постнумерандо (позначення без крапок над виразом) таким чином:

äx = 1 + ax або äx = ,

ääx – n n npx äx + n або ä.

Дійсна вартість страхових ануїтетів з виплатами m раз на рік (позначення з верхнім індексом (m)) у розрахунку на одну сумарну за рік грошову одиницю страхових платежів або виплат визначається для випадків постнумерандо та пренумерандо через відповідні річні ануїтети такими формулами:

äxаx;

ä = äxаx;

ä;

ää.

Дійсна вартість одиниці страхових виплат для договорів страхування життя з негайною виплатою страхової суми в разі настання страхової події (позначення з рискою над виразом) визначається за допомогою співвідношень:

; ;

де — інтенсивність річної ставки і інвестиційного доходу.

Дійсна вартість страхових ануїтетів, які відстрочені на w років (позначення з бічним індексом w½), визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел такими співвідношеннями:

w½ax = n w wpx ax + w, або w½ ;

w½äx = n w wpx äx + w, або w½äx ;

w½a = n w wpx a, або w½a = ;

w½ä = n w wpx ä, або w½ä .

Розрахунок нетто-премій за договорами страхування життя.Нетто-премії розраховуються на підставі принципу еквівалентності зобов’язань, що їх беруть страховик (страхові зобов’язання) та страхувальник (зобов’язання сплати страхових внесків) на час укладення договору страхування (принцип еквівалентності дійсних вартостей зобов’язань).

Наведені щойно співвідношення дають змогу обчислювати нетто-премії (у разі сплати премій пренумерандо) для договорів страхування життя, які враховують настання однієї, кількох або всіх зазначених страхових подій.

Розмір нетто-премії N за кожним договором страхування життя визначається співвідношенням

N = TS,

де Т — нетто-тариф страхового внеску з одиниці страхової суми;

S — страхова сума за укладеним договором страхування життя.

Якщо умови договору страхування життя передбачають настання кількох страхових подій, нетто-премія за таким договором страхування розраховується як сума відповідних нетто-премій для кожної страхової події.

При визначенні нетто-премій актуарій прогнозує значення річної ставки i інвестиційного доходу залежно від терміну дії договору страхування. Розрахункове значення річної ставки інвестиційного доходу може коригуватися з урахуванням значення річної ставки інфляції f за формулою

.

При розрахунку нетто-премії N лише на випадок дожиття застрахованої у віці x років особи до закінчення строку дії договору страхування (n — кількість років дії договору страхування) величина нетто-премії визначається пропорційно до величини страхової суми S:

• у разі сплати страхової премії одноразово:

;

• у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

При розрахунку нетто-премії лише на випадок настання j-ї страхової події нетто-премія пропорційна до страхової суми S, яка виплачується негайно після настання страхової події, і визначається співвідношеннями:

• при довічному страхуванні в разі сплати страхової премії одноразово:

;

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

;

• при страхуванні на строк n років у разі сплати страхової премії одноразово:

;

• при страхуванні на строк n років у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхуванняk років:

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхової події «хвороба застрахованої особи» або страхової події «тимчасова непрацездатність застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», коли умовами договору передбачається послідовність страхових виплат розміром за кожний день хвороби (непрацездатності), нетто-премія визначається співвідношеннями:

• при довічному страхуванні в разі сплати страхової премії одноразово:

;

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

;

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

;

• при страхуванні на строк n років у разі сплати страхової премії одноразово:

;

• при страхуванні на строк n років у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

.

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхових подій «досягнення застрахованою особою пенсійного віку або віку, який визначено у договорі страхування», а також «смерті застрахованої особи» нетто-премія визначається через страхову суму S, яка виплачується в разі смерті застрахованої особи негайно, та через розмір R щорічної пенсії пренумерандо співвідношеннями:

• при довічному страхуванні особи у віці x років на випадок смерті та на випадок виплати довічної пенсії, починаючи з віку застрахованої особи x + w років, у разі сплати страхової премії одноразово:

äх R;

• при страхуванні на строк n років застрахованої у віці x років особи на випадок смерті та на випадок виплати пенсії, починаючи з віку x + w років до віку x + n років, у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

.

Залежність нетто-тарифу від запланованої кількості договорів. Наведені формули розрахунку нетто-премій являють собою математичне сподівання виплат страховика і задовольняють резерви компанії за договорами страхування життя в разі багатьох (кількох тисяч) договорів. При плануванні меншої кількості договорів наведені формули слід коригувати з урахуванням середньоквадратичного відхилення ануїтетів виплат та платежів. Розглянемо, як це потрібно робити.

тариф T0 розрахованих нетто-премій збільшують на значення у ризикової надбавки DT так, щоб виконувалася рівність

T = T0 + DT.

Ризикова надбавка до нетто-тарифу визначається з урахуванням запланованої кількості N договорів страхування рівнем g довірчої ймовірності (g Î [0,9; 0,99]), квантилем нормального розподілу рівня g і обчислюється за формулою

,

де s — стандартне відхилення тарифу розрахованої нетто-премії.

стандартне відхилення s(T) залежить від дисперсії ануїтету виплат, нормується розміром ануїтету платежів і визначається для кожного типу договору страхування окремо:

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи, якщо страхова премія сплачується одноразово і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

,

де d — розмір дисконту, який визначається через річну ставку і інвестиційного доходу за формулою

;

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи, якщо річні страхові премії сплачуються протягом перших обумовлених договором страхування k років і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

;

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи, якщо річні страхові премії сплачуються довічно і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

;

• при страхуванні на строк n років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи, якщо страхова премія сплачується одноразово і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

;

• при страхуванні на строк n років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці x років особи, якщо річні страхові премії виплачуються протягом перших обумовлених договором страхування k років і негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової події:

;

• при страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці x років особи до закінчення терміну дії договору страхування (n — кількість років дії договору страхування), коли страхова премія сплачується одноразово:

;

• при страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці x років особи до закінчення терміну дії договору страхування (n — кількість років дії договору страхування) в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

.

Аналогічно стандартне відхилення нетто-тарифу визначається для кожного розглянутого типу договору страхування.

Приклад. Розглянемо основну частину T0 та можливі (відносно запланованої кількості договорів страхування) ризикові надбавки DT до нетто-тарифу T при укладанні договору довічного страхування життя чоловіка у віці 45 років лише на випадок смерті, якщо сплачуються перші 5 річних страхових премій і негайно виплачується одиниця страхової суми при настанні страхової події.

Кількість N договорів страхування	Нетто-тариф T з урахуванням ризикової надбавки DT
1	0,551609
10	0,241453
25	0,188733
50	0,162162
100	0,143373
500	0,118299
1000	0,112357
5000	0,104429
10 000	0,102549
100 000	0,099448
1 000 000 . . . . . . . .	0,098467 . . . . . . . . .
Розрахований нетто-тариф (Т0 )	0,0980134

Для розрахунків виберемо значення ставки та інвестиційного доходу таким, що дорівнює 4 % (i = 0,04), і візьмемо рівень довірчої ймовірності g = 0,95, так що = 1,645.

На підставі даних таблиці дожиття та смертності в Україні за 1994, 1995 рр., за формулою

при S = 1 обчислюємо нетто-тариф T0 = 0,0980134.

Згідно з формулою

;

залежність нетто-тарифу від запланованої кількості договорів страхування відбиває таблиця, наведена на с. 534.