Raymond Raymond Smullyan "Comme le nom de ce livre?" - 15

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Du paradoxe de la vérité

paradoxes

252. Le paradoxe de Protagoras.
L'un des paradoxes les plus anciens parle d'un professeur de droit grec Protagoras, qui a pris les étudiants pauvres, mais très capable jeune homme et a accepté de lui enseigner gratuitement, à condition que quand il a terminé ses études et a remporté son premier procès, puis payer une certaine quantité de Protagoras. L'étudiant a accepté les termes de Protagoras, mais, après avoir terminé ses études, n'a pas comparu en cour. Après un certain temps Protagoras a déposé son élève à la cour, exigeant le paiement de la somme promise par lui. Voici les lectures ont donné Protagoras et son étudiant au procès.
Stagiaire. Si je gagne ce processus est, par définition, je ne vais pas avoir à payer quoi que ce soit à Protagoras. Si je perds ce processus, par la même occasion, je ne pas gagner leur premier procès, et par accord, je dois payer Protagoras seulement après avoir remporté son premier procès. Par conséquent, je vais gagner ce procès ou perdre, je ne tiens pas à payer ne doivent pas.
Protagoras. Si mon ancien élève perd ce procès, alors, par définition, il devra payer le montant approprié pour moi (après tout, il est pour le paiement de la somme due à moi et j'initié le processus). Si mon ancien élève va gagner ce procès, par la même occasion, il a remporté son premier procès, et en accord devra payer ma dette. Par conséquent, il va gagner ce procès ou de perdre, mais il aurait à payer de toute façon.
Qui a raison: Protagoras ou son apprenti?

Remarque. Je ne suis pas sûr que je connais la bonne réponse au problème. Comme le premier casse-tête (si j'étais ou étais pas dupe), Protagoras paradoxe est le prototype d'une série de paradoxes. Mieux connu pour me faire ce paradoxe offert un avocat, qui je l'ai souligné le problème se pose ici. Il a déclaré ce qui suit :. "Le tribunal devrait se prononcer en faveur de l'étudiant, à savoir l'élève ne devrait pas avoir à payer Protagoras, comme au début du processus de l'élève n'a pas encore gagné son premier procès lorsque la cour se terminera, après accord de l'élève devra Protagoras ce -Que l'argent. par conséquent, Protagoras doit retourner au tribunal et poursuivre l'étudiant un second cas. cette fois, le tribunal devra se prononcer en faveur de Protagoras, depuis le début du second processus, l'élève a déjà gagné son premier procès ".

253. Le paradoxe du menteur.
Le soi-disant «paradoxe du menteur» ou Épiménide paradoxe est en fait toute une famille du fondateur des paradoxes d'un type particulier, connu comme le paradoxe du menteur (sons comme une tautologie, est-ce pas?). Dans sa version originale, le paradoxe de l'histoire d'un certain crétois nommé Épiménide exprimé par la mention «Tous les Crétois sont des menteurs."
Aucun paradoxe encore. Dans tous les cas, la déclaration de Épiménide paradoxe rien de plus qu'une déclaration selon laquelle un certain habitant de l'île des chevaliers et des menteurs déclaration exprime "tous les habitants de cette île sont des menteurs." Dans une telle déclaration, il en résulte que, d'abord, un menteur et en disant que, d'autre part, il y a au moins un chevalier sur l'île. De même, la version originale du paradoxe de Épiménide, nous concluons seulement que Épiménide est un menteur, et que au moins un dit crétois
Seule la vérité. Aucun paradoxe ici, comme vous pouvez le voir, non.
Maintenant, si Épiménide était le seul crétois, le paradoxe serait vraiment originaire. Dans ce cas, le seul habitant de l'île des chevaliers et des menteurs dirais que tous les habitants de l'île sont des menteurs (qui est, à long terme sont ceux qui affirment qu'il est un menteur, et il est impossible).
La version améliorée du paradoxe menteur fait référence à la personne qui prononce la déclaration «Je suis couché." Allongé ou non?
La prochaine version de la version améliorée sera appelé le paradoxe du menteur à l'avenir. Considérez la déclaration:
Cette affirmation est fausse.
Vrai ou faux? Si elle est fausse, il est vrai. S'il est vrai, il est faux. La solution du paradoxe du menteur, nous discuterons un peu plus tard.

254. Paradox Jourdain.
La prochaine version du paradoxe de menteur a été proposé en 1913 par le mathématicien anglais P.E.B. Jourdain. Parfois, il est appelé «le paradoxe de Jourdain avec la carte." Imaginer une carte sur un côté de laquelle est écrit:
(1) La déclaration de l'autre côté de cette carte est vrai.
Tourner la carte de l'autre côté, vous voyez les mots:
(2) La déclaration de l'autre côté de cette carte est fausse.
Le paradoxe est la suivante. Si la première affirmation est vraie, la seconde affirmation est vraie (comme dans la première déclaration dit que la deuxième déclaration est vrai). Par conséquent, la première déclaration est fausse (comme il est dit dans la seconde assertion, que la première affirmation est fausse). Si la première affirmation est fausse, la seconde affirmation est fausse. Par conséquent, la première déclaration est pas faux, mais vrai. Ainsi, la première assertion est vraie si et seulement si elle est fausse, ce qui est impossible.

255. Une autre option.
Dans un autre mode de réalisation, le paradoxe du menteur sur la carte ci-dessous trois assertions sont écrites:
(1) Cette déclaration contient cinq mots.
(2) Cette déclaration contient huit mots.
(3) Exactement une déclaration sur cette carte est vrai.
Assertion (1) est certainement vrai, et (2) est évidemment faux. Le problème se pose dans le cadre de l'approbation (3). Si l'instruction (3) vrai, alors la carte - deux déclarations vraies, à savoir la déclaration (3) et la réception (1), contrairement à ce qui est dit dans la déclaration (3). Par conséquent, l'affirmation (3) doit être fausse. D'autre part, si la déclaration (3) est fausse, l'instruction (1) - la seule vraie déclaration sur la carte, ce qui signifie que (3) doit être vrai! Ainsi, la déclaration (3) est vrai si et seulement si elle est fausse.

Remarque. Où est l'erreur dans le raisonnement dans tous ces paradoxes? Cette question est très mince et plutôt controversée. Certains (surtout des philosophes, des mathématiciens et non) se sentent tout à fait inacceptable toute déclaration qui contient une référence à lui-même. En comptant le nombre de mots contenus dans, vous verrez qu'il est vrai.

La déclaration "cette déclaration contient six mots« faux, mais sa signification est claire, et la valeur réelle est établie sans difficulté: il est dit que le nombre de mots contenus dans il est six, alors qu'ils ne sont que cinq. Il n'y a aucun doute sur le sens des déclarations dans les deux cas, il n'y a pas considéré par nous. Considérons maintenant la déclaration suivante:
Cette affirmation est vraie.
Il ne conduit pas à des paradoxes. Aucune contradiction se pose, que l'on suppose, il est vrai, et nous supposons qu'elle est fausse. Toutefois, cette déclaration n'a pas de sens pour les raisons suivantes.
Chaque fois qu'il est nécessaire d'établir quelle est la vérité d'une déclaration, nous commençons à savoir ce que signifie la déclaration elle-même. Par exemple, laisser le X - approbation »deux fois deux est quatre." Avant que je puisse comprendre le sens de la vérité X, je dois comprendre ce que chacun des membres des mots X et quel est le sens de la déclaration X. Dans ce cas, je connais la signification de chaque mot dans le X, et je sens clair de la déclaration X: il est dit que deux et deux font quatre. Parce que je sais que deux et deux vraiment égale à quatre, alors je sais que X doit être vrai. Mais je ne pouvais pas savoir que X est vrai, si elle ne savait pas que deux fois deux font quatre. De plus, je ne pouvais pas savoir ce que la vérité est X, si je ne l'ai pas, ce qui signifie que la déclaration «deux fois deux est quatre." Cet exemple me montre clairement qu'un énoncé vrai "X est vrai" dépend de ce qu'on entend par la déclaration X. Si X est agencé de telle sorte que sa valeur dépend de la véracité de la déclaration "X est vrai", nous nous trouvons dans un piège, parce que nous marchons dans un cercle .

Il est disposé et une déclaration vers l'extérieur anodin "cette affirmation est vraie." Avant que je puisse comprendre le sens de la vérité de cette affirmation, je dois comprendre le sens de la déclaration elle-même. Que dit-elle? B Il a rapporté seulement il est vrai, mais je ne sais toujours pas ce que cela signifie pour cette déclaration pour être vrai. Je ne sais pas quelle est la vérité de cette déclaration (pour ne pas mentionner le fait que je ne sais pas si elle est vraie ou fausse), jusqu'à ce que je sais ce que cela signifie et pour savoir ce que cela signifie, je ne peux pas aussi longtemps que Je ne sais pas, ce qui signifie qu'il est vrai. Ainsi notre déclaration ne contient aucune information. Ces déclarations sont considérées comme étant non fondée.

menteur paradoxe (et ses variantes) est basée sur les allégations non fondées. (Unjustified, je l'appelle par souci de concision ne sont pas des allégations bien fondée.) Bed and tâche 253 ( «Le paradoxe du menteur") ne sont pas justifiées par l'énoncé «cette affirmation est fausse." Dans la tâche 254 ( «Paradox Jourdain») ne sont pas étayées allégations des deux côtés de la carte. Dans la tâche 255 ( "Une autre option"), deux déclarations sont raisonnables, et le troisième ne se justifie pas.
Notez, d'ailleurs, que nous pouvons maintenant dire plus de savoir si, où une erreur dans leur concurrent de raisonnement pour les parties de la main de la N-ième (. Voir. Sec 5 des écrins portions). Tous ses ancêtres du côté de sa mère utilisés allégations que bien fondées, et Portia N-I, voulant se moquer de son admirateur, habilement utilisé des allégations non fondées. La même erreur se produit dans un certain nombre de preuves fournies au début du chapitre précédent.

256. Que pensez - vous?
Revenons à notre vieil ami Bellini et Cellini de l'histoire des cercueils Portia. Ces deux grands maîtres ne se produisent pas seulement la boîte, mais gravés sur leurs couvertures diverses inscriptions. Cellini gravé cercueils sur leurs fausses allégations, et Bellini a honoré les boîtes de couverture de son travail comme de vraies déclarations. Supposons que, en plus de Bellini et de Cellini, en ces jours ne gravé des inscriptions sur les couvercles des boîtes (leurs fils ont été engagés dans la fabrication de boîtes, mais ne savaient pas comment graver).
Vous avez rencontré boîte, dont le couvercle est gravé:
Cette inscription gravée Cellini
Dont autographe? Si l'inscription gauche Cellini, cela voudrait dire qu'il gravé un énoncé vrai, et nous aurions une contradiction. Si l'inscription laissée par Bellini, cela voudrait dire qu'il grava une fausse déclaration, et encore une fois nous avons une contradiction. Qui a laissé une inscription?
Vous ne pouvez pas répondre à la question, en se référant au fait que l'énoncé «cette inscription gravée Cellini" ne se justifie pas. Il est tout à fait justifiée. Il nous raconte un fait historique, à savoir que l'inscription a été gravée Cellini. Si l'enregistrement a bien été fait Cellini la main, il est vrai. Si elle fait un autre maître, alors il est faux. Quel est le problème ici?
La difficulté vient du fait que je vous ai fourni des informations contradictoires. Si vous avez vraiment entré dans les mains d'un cercueil avec l'inscription "Cette inscription gravée Cellini» sur la couverture, cela signifierait que soit Cellini dans les temps anciens, parfois gravé non seulement faux, mais de véritables déclarations (malgré le fait que je vais en parler ), ou tout au moins qu'il y avait une fois un autre maître, parfois gravé sur les couvercles des boîtes de fausses déclarations (encore une fois, contrairement à l'information que vous avez reçu de moi). Par conséquent, nous ne disposons pas d'un paradoxe authentique, mais une sorte de truc frauduleux.

Par ailleurs, vous avez toujours pas réussi à trouver le nom de ce livre?

257. noyer ou pendre?
Ce puzzle est connu assez largement. Quelqu'un a commis un crime punissable par la mort. Au procès, il est donné le dernier mot. Il devrait dire une déclaration. Si cela se révèle être vrai, le délinquant se noyer. Si elle est fausse, le délinquant sera pendu. Quel énoncé il doit faire pour traduire les tortionnaires totalement confus?

258. Le paradoxe du barbier.
Voici un autre paradoxe bien connu. Dans un petit village rasages de coiffeur tous ceux qui ne se rase pas, et ne se rasent pas de ceux qui se rase. Est-ce que le barbier rase lui-même? Si le barbier se rase, puis il viole ainsi la règle, puisque rase un de ceux qui se rase. Si le barbier ne se rase pas, il viole à nouveau la règle, parce qu'ils ne se rasent pas un de ceux qui ne se rasent pas. Quel coiffeur?

259. Que dites - vous?
Une des îles chevaliers et des menteurs peu peuplée: il ne vivait que deux native A et B. Ils ont fait la déclaration suivante:
A: B - menteur.
B: A - chevalier.
Qui est A: chevalier ou menteur? A Qu'en B?

Résolution de problèmes 257, 258, 259.

257. Le délinquant a à dire: «Je veux être pendu."

258. Rien: l'existence d'un barbier est logiquement impossible.

259. En réponse aux questions que vous problème convient de constater que l'auteur a été étendu à nouveau! Cette situation ne peut pas être moi. En fait, ce problème ne sont pas que d'autres, comme Jourdain paradoxe légèrement "déguisé" formulaire (voir. La tâche 254).
Si A était un chevalier, alors B serait en fait chevalier. Par conséquent, A est pas réellement chevalier. Si A était un menteur, alors B est en fait pas un menteur, et un chevalier. Ainsi, sa déclaration serait vrai et A aurait été un chevalier. Par conséquent, A ne peut être ni un chevalier, ni un menteur, comme dans cela et dans un autre cas, nous arrivons à une contradiction.

PARADOXE DE VÉRITÉ POUR

Quelqu'un a défini un paradoxe que la vérité, livré sur sa tête. En effet, dans de nombreux paradoxes contenus idées que, après des modifications mineures conduisent à des découvertes importantes. Les trois tâches suivantes peuvent servir de preuve convaincante de ce principe.

260. Lorsqu'une prise dans cette histoire?
Une fois que l'inspecteur Craig a visité une certaine communauté et a parlé avec un de ses membres - Maksnurdom sociologue, qui a dit ce qui suit:
- membres de la communauté ont organisé plusieurs clubs. Chaque membre de la communauté peut être membre de plus d'un club. Chaque club est nommé d'après l'un des membres de la communauté. Aucun deux clubs ne sont pas nommé en l'honneur du même membre de la communauté, et le nom de chaque membre de la communauté a un certain club. Un membre de la communauté ne doit pas être un membre du club qui porte son nom. Toute personne qui est un membre du club qui porte son nom, nous appelons nominabelnym. Toute personne qui ne fait pas partie du club qui porte son nom, nous appelons nenominabelnym. La chose la plus étonnante dans notre communauté - c'est ce que tous les nenominabelnye ses membres appartiennent au même club. (Apparemment, le problème de la condition manquante qui nominabelnye ne peut pas aller à la nenominabelnyh du club)
Inspecteur Craig réfléchit un moment et soudain rendu compte que Maksnurd pas très forte dans la logique: dans ses histoires se termine ne convergera avec les extrémités. Pourquoi?

Solution. B la réalité, ce problème ne sont pas que d'autres, comme le paradoxe de coiffure sous une forme nouvelle.
Supposons que l'histoire racontée par Maksnurdom correspondrait à la vérité. Le club, qui unit tous les membres de la nenominabelnyh communautaire, nommé en l'honneur d'un membre de la communauté, par exemple, en l'honneur de Jack. Nous appelons ce club juste pour des raisons de concision, le club Jack. Jack lui-même peut être soit nominabeliym ou nenominabelnym. Dans ce domaine et dans un autre cas, nous arrivons à une contradiction.
Supposons que Jack nominabelen. Alors Jack est Jack Club. Mais Jack compris les membres du club peut seulement nenominabelnye membres de la communauté, et nous avons une contradiction. D'autre part, si Jack nenominabelen, il est membre des membres du club de la communauté. Donc, Jack Jack est un membre du club, qui réunit tous les membres du nenominabelnyh communautaire. Mais Jack doit être membre nominabelnym de la communauté. Par conséquent, nous dans ce cas conduit à une contradiction.

261. Y at - il agent secret dans la communauté?
Une fois que l'inspecteur Craig a visité une autre communauté, où il a rencontré son vieil ami le sociologue Maksnaffa. Craig savait Maksnaffa de l'université (tous deux étudié à Oxford) que la personne qui possède parfaitement la logique. Maksnaff dit Craig à propos de sa communauté comme suit:
- Comme dans d'autres communautés, nous avons organisé dans les clubs. Le nom de chaque membre de la communauté est exactement un club, chaque club est nommé en l'honneur d'un membre de la communauté. Chaque membre de notre communauté, se joindre à un club, peut ouvertement déclarer, ou de garder son secret d'appartenance. Celui qui n'a pas dit publiquement au sujet de son adhésion à un club qui porte son nom, nous appelons suspecte. Toute personne dont on sait qu'il est secrètement un membre du club qui porte son nom, nous appelons l'agent d'infiltration. Notre communauté a une caractéristique très curieuse: tous les suspects sont membres d'un club. (Encore une fois, je raté la condition que le suspect du club ne peut pas entrer non-suspect)
Inspecteur Craig après avoir réfléchi un moment réalisé que, contrairement professeur d'histoire le précédent rapport Maksnaffa ne contient pas la moindre contradiction. En outre, il a été découvert un fait intéressant: une manière purement logique, il a été possible de déterminer s'il y a dans la communauté des agents secrets.
Donc, que ce soit dans la communauté des agents secrets?

Solution. Club de suspect nommé d'après quelques-uns des membres de la communauté, par exemple, en l'honneur de John. Будем называть этот клуб в дальнейшем клубом Джона.
Сам Джон либо состоит членом клуба Джона, либо не состоит. Предположим, что он не состоит. Тогда Джон не может быть подозрительным (так как всякий подозрительный член общины состоит членом клуба Джона). Это означает, что Джон во всеуслышанье заявил о своем членстве в клубе Джона. Следовательно, если Джон не состоит членом клуба Джона, то Джон во всеуслышанье заявляет о своем членстве в клубе Джона, и мы приходим к противоречию. Значит, Джон должен состоять членом клуба Джона. А поскольку каждый член клуба Джона подозрителен, то Джон должен быть подозрительным. Значит, Джон не объявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе Джона и в то же время состоит членом клуба Джона. Следовательно, Джон тайный агент или, попросту говоря, шпик!
Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины состояли бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут состоять членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).
На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемым "конструктивным" и "неконструктивным" доказательством. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.

262. Задача о Вселенной.
В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя был клуб; названный его именем.
Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было бы только 5 обитателей, то числа клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было бы 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с n обитателями число клубов составляло бы 2^n. Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?

Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не состоит членом клуба, названного в его честь. Все неноминабильные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).

263. Задача об учтенных множествах.
Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.
У одного математика хранится "Книга множеств". На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3,..., n,...). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами. Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице "Книги множеств".

Решение. Пусть n - любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.
Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице "Книги множеств". Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.