Articles à propos de paradoxes: "Mouvement est pas!"

Retour à la liste des articles sur les paradoxes

Le lecteur doit se rappeler un épisode drôle de Cervantes roman "Don Quichotte". A peine Sancho Panza régler avec son poste de gouverneur, comme il a mené un test intelligent.
Un certain domaine est divisé en deux moitiés par la rivière riche. À travers le fleuve enjambé par un pont, et à proximité dominant inquiétante potence. La loi stipule: «Tout le monde en passant par ce pont très au-dessus de la rivière est censé déclarer sous serment, où et pourquoi il va, qui peut dire la vérité, le laissez-passer librement, et qui mentent, ceux qui sont mis à mort sans pitié par pendaison."
Et comment diable est-il possible qu'un jour un homme assermenté, il a dit qu'il de jure qu'il est venu ici, alors ... il est pendu à la potence même, et non pour autre chose. Dès que les juges voient la confusion! En fait, si vous laissez l'étranger excentrique de procéder, cela voudrait dire qu'il avait violé le serment conformément à la loi et est passible d'une pénalité. D'autre part, comme le coup de lui? Après tout, il a juré, mais seulement plus tard est venu à être pendu, - donc, il est faux serment, et sur la base de la même loi doit passer intact.
Pauvre Sancho ne pouvait pas se vanter de la sagesse du roi biblique Salomon. Cependant, il a pris docilement le cas difficile et rien ne se sumnyashesya jugé comme suit: «la moitié d'un homme, qui a dit la vérité, qu'il manque, et celui qui a menti, laissez pendre". "Mais, seigneur gouverneur - dit l'adversaire assommé - si vous coupez un homme en morceaux, il est sûr de mourir, et alors ni l'un ni l'autre article de la loi ne sera pas exécuté entre la loi exige d'être respecté dans son intégralité.". Senor gouverneur, finalement livré à l'arrêt, la bonté, a conseillé tout simplement de laisser le requérant étrange sur les quatre côtés.
Ainsi, la loi a été violée. Mais il pourrait faire un bon nigaud Sancho, qui ne pouvait même signer pour sa décision? Eh bien, nous, les lecteurs de Cervantes, étant armés avec la logique et les mathématiques, si nous pouvons 400 ans pour faire face à ces énigmes? Pour comprendre cette question, nous devons nous pencher sur le monde merveilleux de paradoxes, d'aller au-delà du bon sens.
Paradoxes sont connus depuis des temps immémoriaux. Le célèbre philosophe crétois Épiménide, qui vécut au VI siècle avant JC, est attribué à un examen plutôt flatteur de ses compatriotes: "Tous les Crétois sont - des menteurs." Seulement voici le problème: il est aussi le Épiménide crétois! Il se trouve que si Épiménide dit la vérité, alors il est un menteur, puis il soulève de fausses accusations à leurs compatriotes et à lui-même, qui ne dit pas la vérité. Comment sont tous les mêmes: vrai ou faux expression, discréditer les habitants de l'île - le berceau de la culture humaine?
Le paradoxe de Épiménide, autrement connu comme le «paradoxe du menteur,» se produit encore en moins aphoristique, mais une forme plus forte: «Je suis couché", ou "déclaration, que je suis maintenant prononçais à tort." Les citations sont, de toute évidence, ne peut pas être sans controverse ni vrai ni faux. Cette version du paradoxe appartient Evbulidu (IV e siècle av. E.).
En 1913, le mathématicien anglais Jordan ajouté au trésor des paradoxes de ce sur un côté de la carte est inscrit: "La déclaration sur le dos de cette carte est vrai." Quel genre de déclaration? Tourner la carte, vous avez bien lu: «La déclaration sur le dos de cette carte est fausse." Donc, aller voir ce qui est quoi. Selon le premier message, puis la deuxième à droite. Mais si le droit second, incorrectement le premier! Et vice versa.
L'ancienne situation de "crocodile dilemme" comme tragicomique et absurde que celle de Cervantes. Crocodile vole les enfants. Monstre promesses aux parents de retourner l'enfant si le père devine, lui donner un bébé crocodile ou non. Qu'est-ce que le pauvre monstre, si le père dit soudain que le crocodile ne reviendra pas à son enfant?
Nous avons souvent recours aux services dans les litiges l'argument "il n'y a pas de règles sans exceptions», oubliant que cette expression elle-même est la règle et les feuilles, aussi, devrait être une exception. Paradox? Sans aucun doute! Et il se leva parce que les sanctions déclarées par la loi, nous avons appliqué la loi elle-même. Donc, soyez prudent avec ces arguments, ils sont remplis de sales tours logiques!
Fait intéressant élégant paradoxe logique, formulée en 1908 par le mathématicien allemand Kurt Grelling. Pour entrer dans les cordes analysent avtologichnogo définition (de soi) adjectif. La plupart des adjectifs n'a pas la qualité qu'il représente. Par exemple, le mot «rouge» en lui-même est pas rouge, le mot "aromatisée" n'a pas d'odeur. Mais l'adjectif «russe» - vraiment russe "trisyllabique" - trois syllabes, "abstrait" - abstrait et etc. Chacun de ces adjectifs sur Grelling terminologie avtologichno-à-dire a le pouvoir par rapport à lui-même, en profitant de la même qualité qui lui donne les autres concepts. Divers - hétérologue, à savoir nesamoprimenimye adjectifs. Dites le mot «trois syllabes" - en elle-même pas ternaire, "infini" a une taille finie, «béton» - dans le sens de l'abstrait. Grelling paradoxe découle de la question: à quelle classe comprend l'adjectif «nesamoprimenimy»? De l'auto ou non? Supposons que l'adjectif nesamoprimenimo "nesamoprimenimy". Ensuite, il est (selon cette définition Grelling) de soi! Et si elle est de soi, alors sur quelle base il est appelé le contact nesamoprimenimym?!
Voici une autre surprise logique. Considérons l'expression:
"Le plus petit nombre entier positif qui ne peut pas être déterminée par moins de trente-six syllabes." Pendant ce temps, il suffit d'écrire une phrase en utilisant trente-cinq syllabes (le calcul et vous verrez!) Définit rien, mais un certain nombre, qui, par définition, ne peut être déterminée en moins d'un ensemble de trente-six syllabes!
Avec une telle absurdité abonde dans l'histoire de la logique. Le lecteur peut tester leur force, en essayant de sortir de ces labyrinthes sémantiques. (Puisque le problème est survenu, il n'y avait pas de solution unique, qui serait sans condition d'accord pour les scientifiques.) Cependant, si justement dit: «labyrinthes sémantiques»? Chaque labyrinthe, peu importe la complexité, il peut être, il y a un moyen. Et si les visiteurs du célèbre labyrinthe crétois errant trop long à travers les méandres de ses mouvements, toujours tomber dans les griffes du Minotaure, le blâme étaient eux-mêmes. Les gens célèbrent façon réceptions, même sans avoir développé la capacité à naviguer, ils recevraient pas moins de moyens fiables de salut que le fil d'Ariane notoire. En d'autres termes, dans ces cas, il nous apporte simplement abstraction des lois de la logique et de la géométrie. Une autre chose paradoxes. Leur formulation est si simple, si clair, qui errent quelque chose, en fait, nulle part: il n'y a pas labyrinthe lui-même! Mais peu importe le degré de sophistication, ni étaient nos connaissances de la logique et les mathématiques, non, même le plus brillant, l'épée de la raison ne peut pas couper ce nœud gordien de la logique ...
Et encore une clarification. Sous le paradoxe est généralement compris quelque chose de contraire à notre intuition, notre expérience quotidienne, nos sensations directes. Paradoxalement, dans ce sens, il semblait une révélation geliotsentristov astronomes: pas le soleil tourne autour de la Terre, et la Terre autour du soleil. Mais peu importe comment se révolta notre intuition, la logique de la pensée scientifique nous conduit inexorablement à cette conclusion. Pendant ce temps, il y a un paradoxe d'une certaine sorte. En utilisant la même unité logique, les mêmes méthodes de raisonnement - et en fait, ils ont été la terre depuis des milliers d'années et sont basés sur nos connaissances! - Nous arrivons inévitablement à une contradiction insoluble. Donc, nous parlons des imperfections, des défauts de profondément enracinées dans le système le plus logique de notre pensée.
Toutefois, le lecteur peut se demander: qui a besoin de tout cela casuistique? Et si elle est nécessaire?
Ces absurdité sémantique ne sont pas des trucs juste drôle de logique. Pas une seule fois étaient les paradoxes liés à la restructuration des fondements de la pensée.

Surtout saga instructive des paradoxes célèbres (paradoxe), Zeno, qui, il y a vingt-cinq siècles étaient une véritable sensation. Cependant, non seulement une sensation, qui blessent brièvement la psyché de l'homme dans la rue, puis disparaît sans laisser de trace de la tête. Ils ont eu un impact marqué sur les progrès des mathématiques, et ne vont toujours pas aux pages des plus grands, des œuvres philosophiques mathématiques logiques, où les scientifiques se grattent la tête et lance: surmonter ou non les difficultés générées par ces horribles Aporia?
... Combien de qui a lu Homère "Iliad" ne se souvient pas de la scène de poursuite pour le terrible shlemobleschuschim Achille », mais l'ordre struhnuvshim Hector? Fort couru d'avance, mais persécuté beaucoup fort ... Il est vrai que la course autour Troy encore terminé avec la défaite d'Hector. Mais pas dans la course! Dans un combat mortel. Et avant que le combat d'Achille a dû arrêter et non rattrapé avec l'ennemi. Eh bien, l'adversaire était agile et flotte à pieds. Et s'il était maladroit et limace?
Oui, gracieux et puissant Achille aux pieds, fils de Pélée, le héros de la guerre de Troie, chantée par Homère. Et maladroit, comme une tortue lente, slyvuschego partout lenteur standard et la lenteur! Elle se faire concurrence dans la vitesse avec le coureur légendaire? Mais le sage antique Zeno croit que Achille ne pourra jamais dépasser la tortue. La philosophie de la croyance est basée sur le fait que lors de la poursuite pour atteindre l'endroit où il a été chassé au point de départ, pour rattraper une avance de coureur, mais un peu plus loin. Ainsi, la nouvelle façon de petite uchastochke Achille devra rattraper la tortue à nouveau. Mais alors que le persécuteur il atteint ce second point, fugitif à nouveau aller de l'avant. Et ainsi de suite à l'infini. Toutefois, si cela va durer sans fin, comment Achille sera en mesure de dépasser la tortue?
D'autre part, à partir de leur propre expérience quotidienne chaque écolier sait qu'il est de ne pas Achille, facilement capable de dépasser la tortue, non seulement, mais, Dieu ne plaise, et l'enseignant - est que la cloche a sonné, annonce la fin de la leçon.
Et il n'y a pas de «talon d'Achille» en eux-mêmes le raisonnement Zeno?
Dans le cadre classique de la logique, Minto écrite, célèbre coureur facilement en avance sur son rival indigne, mais il donne une longueur d'avance non seulement dans la distance - 100 yards (ici manger vieille Russie, pas la mesure grecque de longueur, mais il n'a pas d'importance), mais aussi de la vitesse : il se déplace pas pleinement en vigueur - seulement dix fois plus rapide tortue. Autrement dit, en substance, marche actuellement lentement, confiant de la victoire. Cependant, se rendre à l'endroit d'où partit sur leur chemin rapidement par stavlennitsa Zeno, fils de Pélée voir qu'elle a réussi à ramper encore 10 verges avant. Alors que Achille surmonter les 10 verges, la tortue prendra encore sept pieds. Eh bien, le sans valeur de la flotte à pieds couvre environ sept pieds là-bas. Un maladroit, quant à lui, se déplacera - même un dixième brasses, mais toujours en avant, loin du persécuteur! A chaque pas, la distance est réduite. Ces étapes seront, évidemment, les jeux de set-infini. Pas de problème: les mathématiques modernes ont appris à résumer la séquence infinie. Et Minto construire série infinie: + 10 100 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Avant de nous diminue de façon exponentielle. Sa facilement calculer la quantité de tout étudiant en cours, à moins qu'il a déjà passé un manuel d'algèbre, il semble, pour la huitième année; Cette somme est égale à 111 09.01. Effectuer des calculs simples, Minto conclut: «sophiste veut prouver que Achille ne pourra jamais dépasser la tortue, et en fait seulement la preuve que Achille le dépasse entre les brasses 111e et 112e sur leur chemin."
Il semble être correct. Il semble être logique. Hélas, oprovergateli triomphants pas répondre à la sophiste de honte, parce que la question a été posée différemment: pas quand, mais comment une telle réunion ...
Que le lecteur juge l'ancien sage lui-même et son adversaire. Pour obtenir la réponse 111 1/9 brasses, il est nécessaire de recourir à la somme d'une série infinie. Vous pouvez résoudre le problème de la manière algébrique habituelle, en prenant la route inconnue qui rampent jusqu'à ce que le «rendez-vous" beauté effrayant fonctionne coyly loin de son persécuteur de confiance en soi.
Oh, si nous sommes arrivés à l'inconnu, que ce soit Iksom - x. Puis le chemin, marcha d'Achille, est supérieure à la distance séparant les coureurs lors du lancement, et l'intervalle de tortue couvert avant de rencontrer Achille: 100 + x. Maintenant, écoutez: le mouvement dès le départ pour répondre à deux coureurs de la même. Et la vitesse d'Achille dix fois plus élevé. Ainsi, le chemin, fait d'Achille, sera également dix fois plus que la tortue (s). Nous formons l'équation (100 + x): x = 10. Calculer: x = 11 1/9. Tant brasses tortue rampé? Et d'Achille? 100 + x = 111 1/9
Il est difficile de croire que Zeno a été incapable de trouver la partie souhaitée de la manière comme des moyens élémentaires. Encore plus difficile d'imaginer que Zeno avait personne dépassé ou non voir comment les autres font. Non, penseur antique pas en vain formule le problème de sorte qu'il semble que le concept d'un nombre infini! Il n'a pas été tourmenté par le doute: le corps peut faire un chemin constitué par les pièces? Penseur confondu autres: comment une synthèse cohérente des innombrables segments, si elle va durer éternellement, sans jamais atteindre la limite?
Impossible d'atteindre? Un point est espacé du début à 111 1/9 brasses - est-ce pas le même limiter? Il. La même chose! Mais est la question se résumait à, quel est-il? Non! En outre, en tant que variable (dans ce cas, la somme d'une série) atteint sa limite. Et il atteint même? Nous avons nommé la variable de somme. Il est donc. Rappelez-vous la série constituée Minto: + 10 100 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Tant qu'il est composé de six membres. Leur somme est égale à 111,111. Ce nombre est inférieur à 111 09.01. Cependant, un peu, mais encore moins! La différence sera encore moins si nous ajoutons à la séquence d'un autre membre, le septième: + 10 + 100 + 1 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Le montant a changé, il est maintenant égale à 111.1111. Sept membres - sept caractères, y compris - de ceux remarqué? Si les membres seraient huit, la somme sera prolongée jusqu'à yedinichku: 111,11111. Et ainsi de suite. Mais si vous prenez un cent, mille, un milliard de milliard de membres, il est encore votre numéro avec un énorme le long de la longueur de la queue des unités sera inférieure à 111 1/9. Le montant varie, augmente, mais ne parvient pas à la limite. Et pourtant, nous sommes en mesure de calculer la limite à laquelle il aspire. Ceci est fait pour. Il prend la formule pour la somme de la finale (stress pas infinie!) Le nombre de membres. Il est facile de déduire - regarder dans l'algèbre des manuels scolaires. Disons substituer en elle les caractéristiques de notre façon exponentielle. Le premier terme, nous avons 100. Un dénominateur de progression - un dixième (0,1) - parce que nous chaque période successive est plus petite que la précédente dix. Supposons que nous voulons calculer la somme de 777 membres. Nous obtenons: 100 / (1-0,1) * [1- (0,1) = 777 + 1] Il est facile de voir que le nombre avant que les supports est égale à 111 1/9. Et le contenu des parenthèses? Un peu moins. Et ce sera d'autant plus proche de l'un, le plus grand exposant de la fraction de 0,1, entre parenthèses. Mais regarder de plus près à l'exposant - le même nombre de termes, plus edinichka! Et maintenant, le plaisir commence. Nous passons d'un nombre fini de membres à l'infini. Exponent de (0,1) augmente indéfiniment. Qu'est-ce qui se passe avec le degré - d'un dixième multiplié par lui-même autant de fois qu'il est impossible d'imaginer? Il devient infinitésimale, tendant vers zéro. Et si oui, ce qui est écrit dans votre manuel, nous pouvons simplement le jeter, ce qui équivaut à zéro. Entre parenthèses est l'unité. Par conséquent, la limite souhaitée est de 111 1/9. Mais entendre ce que dit au sujet des mathématiques (bouche Académicien Markov): «Il est important de noter qu'un ensemble de valeurs infiniment petit, on ne compte pas sa limite 0". Un mathématicien français Mansion a exprimé en termes non équivoques: «La limite de la variable que nous appelons la valeur constante à laquelle vaguement approcher une variable, il ne jamais atteindre." Mais le même est dit et Zeno, l'acquisition à moins que les symboles mathématiques abstraites dans des images vives, inspirées par les beaux mythes anciens! Aussi loin que nous allons dans l'intégration progressive raccourcit "dvizhenits" Achille, nous ne sera jamais tout à fait son chemin à une rencontre avec une tortue! Comme mentionné dans Homère ( «Iliade» traduit Gnedich):
"Cette évasion, tandis que l'autre essaie de capturer en vain,
Et les héros ne sont pas rattraper le non, non ce ne va pas loin ... "
Zeno noté par des difficultés dans l'interprétation de la gravité des concepts de «limite» et «continuité» peut être illustrée par un exemple simple. Imaginez: dans votre chambre à l'étage ramper tortue. Et tout à coup - Arrêtez! - Bound nez animal dans le mur. Tortue Way - une variable qui peut atteindre jusqu'à une certaine limite. Limit - le mur. Au contraire, le point de limiter la course de la tortue. Mais ce point ne fait pas partie d'un ensemble infini de points du territoire! Non seulement cela: en tortue façons impossibles à déterminer le dernier point - celui où le nez de la tortue est acquise au moment de l'impact, celui qui précède la limite - point de la paroi. Ici, nous avons par inadvertance touché les autres paradoxes de Zénon. Si la première dans l'histoire des mathématiques apparaît sous le nom de "Achille", la seconde "dichotomie" nommé. Ceci est un ancien mot grec traduit par "bissectrice sans fin". Avant de terminer tout le chemin, la tortue doit passer sa moitié, dit Zénon. Mais avant d'arriver au milieu du chemin, elle doit se lever à la marque, d'accord disséquer cette moitié. Cependant, avant de partir pour un quart du chemin, vous devez passer "onces" ... Ouf! Ainsi peut se poursuivre indéfiniment. En bref, Zeno conclut que le mouvement ne sera jamais!
paradoxe géométriquement peut être interprété. Nous prenons un segment et de le diviser en deux. La moitié gauche dissèque à nouveau deux. Quart de gauche - également en deux. Puis onces gauche, seizième de 1/32, et ainsi de suite - sans fin. Ne pas cette rappeler Achille poursuite d'une tortue ou voyage de tortue sur l'impasse intérieure? Seulement effectue maintenant le rôle du nez de tortue de mur. Son point - le point de repos. Où commence le premier mouvement du compte est le point? Après tout, nous ne pouvons pas trouver un point immédiatement après la limite du segment - tout comme en mesure de déterminer un point précédant immédiatement la limite dans l'exemple de la tortue, se cogner contre un obstacle!
Erreur Zeno, selon le professeur S. Bogomolov, est que parce qu'il est impossible d'imaginer à partir de l'ancien philosophe a conclu sur l'impossibilité du mouvement et de connaissances fiables à ce sujet. Il est entièrement expliqué par le niveau des connaissances mathématiques de son temps et ne diminue pas son mérite. Dans le "Dichotomie" Zeno a souligné les difficultés à comprendre le concept de «continuum» (séquence continue de tous les points d'une ligne) et le «mouvement». Mais les mathématiques a longtemps été habitués au fait que l'esprit porte sur les problèmes rencontrés par l'intuition est impuissante. Néanmoins, il faut encore admettre que "Dichotomie" est quelque résidu insoluble. Nous parlons d'un nombre infini, qui n'a pas de commencement. Elle est la même dialectique de l'infini, ce qui devient particulièrement aigu par rapport à la séquence d'instants de temps.
Notre prochain passage - "Boom", le troisième aporie. Troisième dans une rangée, mais pas moins. Nous attendons le paradoxe, qui a une réputation, dans les mots du professeur A. Bogomolov, "apothéose zenonovskoy dialectique».
«Il n'y a pas de mouvement, dit le bradaty sage ..."
Ce Pushkin cite Zeno. Et il poursuit:
"... L'autre ne dit rien et se tint devant lui à pied.
Plus fort que il n'a pas d'objection.
Tous ont loué la réponse complexe.
Mais, messieurs, cet événement amusant
Un autre exemple de la mémoire me conduit à:
Après tout, chaque jour, le soleil va devant nous,
Toutefois, les droits de chemin de fer obstinés Galileo! "
Pouchkine cite écrivain Daniil Danin, dans son livre "L'inévitabilité d'un monde étrange." Et il poursuit: «Zeno demanda: - Ça rampe de vol, à chaque instant, il peut attraper quelque part, où elle se repose en ce moment, où ne signifie le mouvement, le mouvement - une succession d'états de repos est pas un non-sens, il ???
Le raisonnement était impeccable. Mais la preuve de Diogène, qui a commencé à marcher, aussi, était irréfutable. Pourrait trouver un moyen de sortir de cette apparente contradiction - le mouvement est composé de moments de repos? La production devrait chercher et trouver.
Pour ce faire, les mathématiques et les mécaniciens ont dû apprendre à fonctionner avec des quantités infiniment petites. Ils ont dû apprendre à voir l'état de repos comme une limite zéro de vanishingly petit mouvement. Cela rend le calcul différentiel. Et nous avons dû apprendre à mettre ces zéros ne sont pas surpris que l'infini - l'ajout de dvizhenits infinitésimales peut donner une réelle étape finale du voyage. Cela rend le calcul intégral. Dans l'argument de Zénon était erreur logique perceptible. Il décompose le mouvement de la flèche sur un nombre infini d'états de repos, et les mettre sur une logique arithmétique sommes finies: si vous prenez tant de zéros toujours obtenir zéro. Et il a dit: "Aucun mouvement". Et la chose est que peu importe à quel point l'arithmétique "tel quel", il est toujours pas infinie. Diogenes seulement dans le silence et pourrait réfuter Zeno - les mots qu'il ne serait pas arrivé, parce que ce ne fut pas le bon moment pour ce mot ".
Eh bien, cela est probablement vrai que Diogène ne serait pas trouver les mots justes pour faire valoir - mais pas à Zénon, et un de ses disciples (Zeno est mort pour une centaine d'années avant la naissance de Diogène). Eh bien, aujourd'hui? Quel est le mot magique, ce que vous pouvez de-repousser les attaques Zeno? De toute évidence, calcul différentiel et intégral, est-ce pas? Eh bien, nous allons essayer de raisonner avec les troublemaker anciens arguments les plus puissants de l'analyse mathématique.
Rondelles d'oignon, flèche carquois,
Et club, pendu Python ...
Et votre victoire face brille,
Belvedere Apollo!
scène Assassiner peinte par Pouchkine, courbe graphique balistique, et idéalement (si l'on ignore la résistance de l'air) - parabola le long de laquelle se déplace la flèche sur la corde à la cible. Les coordonnées sont: hauteur de levage (axe vertical) et le temps de vol (axe horizontal). nous sommes sur le point de configurer la différenciation. Comment calculer la vitesse? Il est clair que je copiais de l'indicateur de vitesse et le kilométrage divisé sur le temps pendant lequel la voiture a fait son chemin. Droit. La seule façon que nous allons trouver la vitesse moyenne. Et elle a certainement changé! Au début, la voiture était - la vitesse est nulle. Puis il a déménagé - la vitesse a commencé à augmenter, a dépassé le seuil autorisé; alors le coup de sifflet le policier a dû freiner - la vitesse a fortement diminué, alors que la machine à nouveau devenir cloué sur place. Si l'on calcule la vitesse moyenne, il devient clair que vous êtes très bien et d'autres pas du tout! Cependant, la sentinelle est à la hauteur. Il ne peut pas être conscient du calcul différentiel, mais certainement quelque chose de violations de sens. Comment avons-nous déterminer la valeur exacte de la vitesse à tout moment?
Revenons à la perche: son taux est décrit par une expression mathématique simple. Alors seulement le contraire: au début d'une vitesse chaîne de flèche (nous parlons de son taux de montée) maximale. Le point de la piste la plus élevée est égale à zéro. Au moment de la Python assassiner atteint à nouveau la valeur maximale. A tout moment, il est différent du précédent. Néanmoins, nous pouvons saisir la régularité avec laquelle elle varie de point à point.
Imaginez voler flèche tirée dans le dieu monstre dégoûtant radieux, filmé sur le film. Et nous nous sommes arrêtés, si le film de démonstration quelque part au milieu, arrachant tout cadre. À ce stade, la flèche (il est préférable de parler de l'un de ses points, par exemple, le centre de gravité) est passé à une certaine hauteur. Nous incluons le lecteur de bande à nouveau, mais juste assez pour que devant nos yeux, se trame suivante. Le centre de gravité s'étendant sa route sur un petit morceau, sera dans le nouveau point où la hauteur de levage est augmentée. On note cette hauteur minimum que "es delta". Et en même temps, le symbole "te delta" désignent l'intervalle de temps entre les trames adjacentes. Ensuite, le taux moyen de montée de cette manière exprimée uchastochke simple tir delta / delta t. Faites attention - la vitesse à nous encore dire! Oui, mais moins que "te delta", la plus proche de la valeur de la fraction de notre vitesse réelle au premier point. Si l'appareil photo film obturateur lorsque la prise de vue aurait cliqué mille fois plus alors l'intervalle de temps entre deux cadres adjacents ont abandonné trop exactement mille fois. Signification de vitesse "instantanée" pour devenir plus adroit. Pourtant, tant aussi longtemps que notre axe de temps Dol-ka est fini (pas infiniment petit) rapport de la valeur à la «te delta" "du delta" ne donne que la vitesse moyenne entre les deux moments. Que faire si vous faites un "te delta" infinitésimal? En d'autres termes, présentant le deuxième point de la piste mobile, plus proche et plus proche de son assise rigide premier point? Puis le "te delta" tendent vers zéro. "Delta Es" aussi. Et leur attitude? Il deviendra la valeur de transfert plus précis et plus précise de la vitesse de la flèche au moment imprimé sur la première image. Mais seulement dans la limite, il sera la vitesse instantanée à ce moment précis. Cette limite les relations avec delta t, tend vers zéro, le signe est représenté par un à deux étages "de es pour de te" et a appelé la dérivée de la fonction (dans ce cas, dérivé de la voie dans le temps). (ds и dt называются дифференциалами (от латинского слова "разница").
Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?
...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...
Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых "телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...
Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею "неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!
"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита".
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ" стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс" или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика". Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин "дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.
Правда, сегодня в dt математики видят небесконечно малую величину, а конечное приращение "дельта тэ". Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формула разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на "дельта тэ". Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так - сложно ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный "смысл в себе", и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
"Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно" объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу".
Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть мо-жет, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно большое коли-чество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" - точки.
Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу - как отношение бесконечно умаляющихся "дельта эс" и "дельта тэ". Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить "дельта тэ" из знаменателя путем чисто формальной процедуры. "Чисто формальной" - значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям - чертежам. Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами "живописного искусства" геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе - увы... Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, - дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла - скорей всего она будет прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?
Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчали-вая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?
"Движение есть сущность времени и пространства, - говорил Ленин. - Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий".
"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х "приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".
Парадоксально, но факт налицо: понятие "дифференциал" и тесно связанное с ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть? Вот прогноз профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и "интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических "представлений".
Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой "почтенной реликвии атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?
"В последнее время, - утверждает профессор С. А. Богомолов в книге "Актуальная бесконечность", - уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее: "Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.
Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца..." Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.
Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. "татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии", так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось "вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты", уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки - рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена - словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия - все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое "пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее). Правда, последовательный пересчет не всегда удобен - даже в случае конечных множеств, "Пойдем, например, на танцплощадку, - иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре "Рассказы о множествах". - Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек".
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. Non! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо", Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью,. сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно лицо".
И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

Dans l'écrivain anglais du roman de Laurence Sterne est, "La Vie et opinions de Tristram Shandy, Gentleman." Ceci est une très nouvelle originalité. Le récit à la première personne, le héros a pris jusqu'à deux cent cinquante pages pour décrire son apparition sur la lumière. Seulement dans le troisième livre de sa mère Shandy a permis à la charge de Tristram, un gentleman, et le monsieur dans le sixième plus petite honoré d'être habillé en pantalon.
A propos d'un personnage littéraire étrange rappelle rien d'autre que Bertrand Russell. Supposons, dit scientifique britannique, certains nouveau-né Tristram Shandy passera pour l'année à la description de chaque jour de sa vie. Est-ce qu'il nakropat Mémoires? Échoue, il est clair que la mort d'une personne. Et si Tristram Shandy soudainement devenir immortel? Qu'est-ce donc? Ensuite, chaque jour sera reflété dans son histoire inhabituelle. Une autre chose - une histoire de vie étrange ne finira jamais. Mais chaque jour il y a une année considérée, le nombre de jours et le nombre d'années dans leur série sans fin sont plutôt équipotent. Cet infini d'une classe. De même, la séquence de tous les nombres pairs est équipotent à des nombres naturels comprennent les nombres pairs et impairs: 1, 2, 3, 4, 5, 6, et ainsi de suite. Un certain nombre de ravnomoschen naturel ensemble de tous les nombres rationnels. Comme vous pouvez le voir, la règle de «l'ensemble ne correspond pas à ses parties" perd la force dans le monde étrange de l'infini. Mais une autre conclusion, encore plus fort se moque faiblesse des intuitions humaines. Nous avons déjà découvert: le continuum (l'ensemble de tous les points du segment sans exception) a une capacité beaucoup plus grande que rare debout sur l'axe réel des nombres naturels de la marque ou même l'ensemble des points rationnels est dense partout. Néanmoins, les regards complètement inattendues et vraiment exceptionnelle afin Kantorov jusqu'à: Est-ce que l'un angström, si une année-lumière contiennent le même "quantité" (nous parlons d'un nombre infini de) points. Il est incompréhensible, mais la ligne infinie ne contient pas plus de points que la coupe finale! Et une autre surprise: forme en trois dimensions (par exemple, un cube) est des points plus riches que les deux dimensions (carré), et la surface à deux dimensions - que juste une ligne. Pendant trois ans (1871 à 1874) Cantor a essayé de prouver qu'une correspondance un à un entre les points du segment et les points de la place est impossible. La recherche angoissante pour une longue période ont été infructueuses. Et tout à coup, tout à fait inattendue pour lui-même un scientifique est venu à un effet complètement opposé! Il a fait le même bâtiment, qui est considéré comme irréalisable. Choqué par sa découverte, il a écrit Dedekind mathématiques: «Je peux le voir, mais je ne crois pas." Et vite rendu compte que non seulement la place, mais le cube ravnomoschen ligne ...
Il savait Zenon. Newton aussi. Mais avec tout l'immutabilité de Georg Cantor prouvé - homme, d'abord osé saisir l'immensité, de compter les innombrables, mesurer l'incommensurable. Il est entré avec le nombre et la mesure dans le monde mystérieux et étrange, dont l'entrée arbore le symbole cabalistique de l'infini. Et qui, depuis des temps immémoriaux inspiré dans les âmes des infyniti d'horreur mystique de l'homme - la terreur de l'infini. Bespretsedetnoe anarchie arithmétique choqué mathématiciens. Mais ce fut seulement le début. Définir la théorie de Cantor était pleine de paradoxes beaucoup plus graves.
Au tournant des XIXe et XXe siècles, il est devenu clair que le raisonnement logique, qui exploitait Kantor, conduisent à des contradictions insolubles. Le premier KO construire Cantor reçu du scientifique italien Buran-Forti paradoxe formulé nombre plus grand ordinal. Mais la sensation réelle était la célèbre antinomie de Russell, publié en 1903 et est devenu largement connu comme «le paradoxe du barbier."
Le soldat a ordonné d'être coiffeur régimentaire. Ordre strictement ordonné de se raser ceux et seulement ceux qui ne se rasent pas. Pour le défaut - la peine de mort. Les soldats effectués régulièrement ingénu coiffeur de service exactement un jour. Le lendemain matin, après avoir passé sa main sur son menton, il a pris la lame et le pinceau pour donner à vos joues ancien lustre, mais se rattrapa dans le temps .... Commencez votre propre chaumes gratter, que ce soit parmi ceux qui se rase. Et puis il, conformément à l'ordre de patrons formidables ne devrait pas se raser. S'il refuse de se raser, il sera l'un de ceux qui ne se rase pas, et quelqu'un vient de l'ontogenèse et doit se raser! Comment le pauvre barbier?!
Bien sûr, nous avons une allégorie humoristique nastyaschego paradoxe. En fait, il est une formulation plus stricte. Il existe une pluralité d'entre eux pouvant contenir eux-mêmes comme un élément. Appelons-les extraordinaire. Pour obtenir une compréhension, par exemple, dans la définition suivante: "Un ensemble A comprend tous les jeux qui peuvent être définis offre contenant moins de vingt mots." Il suffit de présenter la phrase ne contient que 15 mots. Alors, bien sûr, l'ensemble A est aussi un élément de A! Bien sûr, nous avons la curieuse exception. La plupart des constellations ordinaires - ne se comportent pas comme un élément. Bornons-nous jusqu'à ce que ces actions-ensembles, qui ne semble pas de bon augure aucune capture. Et considérer l'ensemble de tous les ensembles ordinaires. On note par la lettre M. Il est proposé de répondre: M elle-même - ordinaire ou extraordinaire? Sans aucun doute, il devrait être soit l'une ou l'autre - il n'y a pas de troisième. Supposons que M - un ensemble ordinaire. Ensuite, il doit se comporter comme un élément: en fait, M est, par définition, l'ensemble de tous met en place une seule commune) Mais si elle se comprend, donc nous sommes confrontés à beaucoup d'extraordinaire! Eh bien, qu'il en soit ainsi. Attendez ... Qu'est-ce qui est arrivé: inhabituel M appartient à l'ensemble de tous les ensembles ordinaires? Mais nous avons décidé de ne pas les affaires avec des jeux extraordinaires! M, par définition, ne sont pas autorisés à entrer dans l'ensemble de tous et un seul ensemble commun! Et si elle atterrit là, même daigne devenir commun. Une seule chose: pour annoncer l'ensemble M est ordinaire ... et recommencer à nouveau, "l'histoire du taureau blanc." Comme vous pouvez le voir, contrairement à ses collègues de Séville trilogie immortel "Figaro Lord Russell de Beaumarchais engagé dans des intrigues à un niveau supérieur - dans le domaine de la logique et des mathématiques. Paradoxes de fixer les mathématiques théoriques contraints de réviser ses fondements logiques.
Comme vous le savez, le talon d'Achille de la théorie des ensembles de Cantor était sa non constructive. Cantor reprocha qu'il a eu recours à la preuve par l'absurde. Il a justifié les conclusions vraiment fondamentales de sa théorie pas directement, mais indirectement - démontrer l'absurdité de l'affirmation contraire. Pendant un certain temps, il semblait convaincant. En fait, si l'une des deux propositions alternatives faux, quelque chose d'autre doit nécessairement être vrai. Au moins le dit la loi du milieu exclu. Admission reduktsno ad absurdum (réduction à l'absurde) est largement pratiquée en mathématiques depuis Euclide. Mais le paradoxe de Russell dans son coiffeur avec la même procédure logique éprouvée pour des milliers d'années, a eu des ratés! Alors pourquoi, je demande, elle ne pouvait pas échouer et Cantor? Vraiment vraiment ... "aucun mouvement"? Dans tous les cas, la logique de réfutateurs Zeno, fait appel à Cantor constructions ...
Mais, peut-être, les contradictions ont été générées interprétation trop lâche du concept de «multitude»? Et si plus de rigueur formuler les exigences relatives à la signification de chaque terme, chaque procédure logique? Et même essayer, si possible, de construire une logique "constructive", où il n'y a pas de loi du tiers exclu et la preuve du contraire?
Il est la tâche qui lui était les mathématiques XX siècle. Et le mathématicien autrichien Kurt Gödel destiné à construire une théorie globale et cohérente des chiffres (il est également pertinent pour les paradoxes de Zénon parce que tout nombre peut être représenté par un point sur le segment, et vice versa -. Partout numéro de jeu). Pensez-vous qu'il a fait? Certainement pas! Au contraire, en 1931, il a prouvé le théorème: tout système logique suffisamment complet peut formuler une offre qui est impossible de prouver ou de réfuter les moyens logiques de ce système! Et la cohérence de tout système ne peut être établie au moyen de ce système, ...
Le théorème de Gödel formé la base d'une direction en mathématiques et de la logique. La théorie très mathématique dont la consistance essayer de justifier, a fait l'objet d'une étude spéciale "nadmatematicheskoy" science appelée métamathématique ou théorie de la preuve. Quelle est la nature de la vérité? Sur quels locaux repose le fondement même des mathématiques? Quel sens sont les propositions mathématiques: axiomes, lemmes, théorèmes? Quelle est la structure logique doit avoir la preuve? Donc, les tentatives pour résoudre les paradoxes face à la question plus large des fondements des mathématiques et de la logique.
Regardez dans le livre Kleene "Introduction à metamathematics." Dans un premier temps, il vous effrayer certainement des caractères charabia prodigieux, puis ... Puis, voyez-vous, et d'attirer - sans doute étonnant laconique, élégante austérité, et si vous regardez, l'originalité et la facilité de la langue des signes. Langue, qui décrit le raisonnement plus complexe. Y compris absurdités comiques logiques comme celui qui est apparu dans l'épisode de "Señor gouverneur" Sancho Panza. Une étrange combinaison paradoxale, est-ce pas? prose pleine de sang de Cervantes et de caractères anémiques mathématique "raccourci" - parce qu'il est à première vue les deux choses aussi incompatibles que le génie et la scélératesse! Eh bien, comment presser le discours humain vivant, et non pas seulement la parole, et le raisonnement dans le lit de Procuste de formules mathématiques? "
«Quand je comme un garçon, fait la connaissance avec les propositions de la logique ordinaire, et je suis encore peu familiers avec les mathématiques, j'avais, je ne sais pas par quel caprice, l'idée qu'il est possible de concevoir une analyse conceptuelle, par laquelle la vérité peut être combiné et le calcul les numéros ". Donc, à la fin du partage de sa vie, ses rêves inassouvis d'un brillant diplomate et un brillant mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz. Il, comme aucun autre, très conscient des défauts de la logique classique. Les informations contenues dans Aristote, il a depuis plus de vingt siècles est resté inchangé. Mais cela signifie qu'il ne peut pas être améliorée?
Le grand réformateur allemand croyait que notre connaissance peut être décomposé en éléments simples. Les caractères spéciaux désignés, ils formeront l'alphabet des pensées humaines. Pourquoi demander? "Le débat n'a pas pris fin, si vous ne donnez pas l'argument verbal en faveur d'un simple calcul, - a expliqué à Leibniz, -. Dans le cas contraire, remplacer signification des symboles ambigus vagues et indéterminés Après l'introduction de l'ajouter deux philosophes, bude se produisent entre les querelles, ne devrait essayer . de bruit les uns les autres débatteurs ne nécessitent pas autre chose que la façon de ramasser des plumes, asseyez-vous, comme des comptables, pour son bureau et dire, nous pouvons calculer! " Seulement après cinquante ans ont lancé des idées de Leibniz. En 1847, un chercheur irlandais George Boole publie "Analyse mathématique de la logique", où pour la première fois définit le calcul propositionnel - la soi-disant logique de l'algèbre. «Ceux qui sont familiers avec l'algèbre moderne, - dit l'auteur - sait que la méthode d'analyse correcte ne dépend pas de l'interprétation des symboles -Alors un seul et même dispositif peut fournir en vertu d'une interprétation pour résoudre la théorie des nombres, à un autre -. Solution à la géométrie du problème, dans le troisième -. le problème de la dynamique et de l'optique et ainsi de suite " En algèbre de Boole, les lettres indiquent les états, les constructions logiques les plus volumineux et confus sont réduits à l'arithmétique simple.
Invasion des formules et des équations pour la logique était aussi cruciale que l'apparition du lettrage pour les mathématiques. Archimède, Euclide, Diophante et d'autres titans de mathématiques anciennes ne pas utiliser la langue de formules. Non, non pas parce qu'il ne voulait pas. Ils ne le savaient pas. Et leurs pensées en mots et en images. Géomètre avant géomètre représenté un bâton sur le bac à sable. Puis il a tenu en lui criss-cross deux lignes, coupée de la place sur le pain oblong égale sur la droite et en bas. Les lignes d'intersection formées dans le coin inférieur droit de la petite place. Et quiconque a regardé la photo - que ce soit grecque, romaine ou arabe - même sans connaître la langue, comprendre sans mots: carré de la somme de deux quantités égales à la somme des carrés de ces valeurs, qui est composé de première grandeur deux fois le produit de la seconde. Il est plus difficile d'expliquer ce qui correspond à la somme du cube. Je devais dessiner un cube, pour l'isoler du plus petit cube, puis ajouter les segments de volume. Mais la quatrième puissance de la somme ne pouvait pas expliquer clairement, sans parler de la cinquième, sixième, et ainsi de suite. La géométrie du pli. Pendant ce temps, en utilisant une désignation de lettre sur le théorème du binôme, vous pouvez facilement calculer la somme des deux termes posés à toute puissance:
(A + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2;
(A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3 * a ^ 2 + b * 3a * b ^ 2 + b ^ 3;
(A + b) ^ 4 = a 4 + 4 * et 3 * * b + b * a ^ 2 + 4a * b ^ 3 + b ^ 4
Et ainsi de suite. Les commentaires sont superflus: les avantages parlent d'eux-mêmes. Maintenant la lecture attentive d'une épitaphe insolite: des voyageurs! Il cendres enterrées Diophante. Et les chiffres parlent peut se demander, combien de temps était l'âge de sa vie. La sixième partie de celui-ci était une enfance merveilleuse, les Douze de la nature morte fuite - puis recouvert de duvet son menton. Septième dans un mariage sans enfant avait Diophante. Cinq années ont passé; il a été béni avec la naissance d'un merveilleux fils premier-né, à qui un rocher une demi-vie et une grande lumière faite sur le terrain par rapport à son père. Et dans la tristesse très vieil homme héritage terrestre suppose la fin, survivent les quatre années écoulées depuis lors, comme un fils perdu. Dites-moi, combien d'années de vie atteint, la mort prend la Diofant?
Venez résoudre le problème dans son esprit, en faisant valoir - et seulement, sans avoir recours à la plume et du papier. Qu'est-ce difficile? Bon, voyons vtisnem hexamètres mélodieuse dans les formules métriques strictes.
x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x
Cette équation à une inconnue est résolu en un tournemain. Réponse: "enfance merveilleuse" Future grand mathématicien a pris fin à quatorze ans. En vingt et un ans Diophante a joué un mariage dans trente-huit, il avait un fils, qui mourut âgé de quarante-deux ans quand Diophante lui-même frappé quatre-vingts. Enfin, dans la 84e année de la grande grecque est mort. Ce ne fut pas (même si elle ne provient pas de notre équation) dans le III siècle après JC. Euclid et Aristote ont vécu et travaillé dans le III e siècle av. Et malgré le fait que les biographies des grands penseurs des actions sur un demi-millénaire, n'a pas encore été né à l'époque de l'algèbre de Diophante - celle qui nous permet de traiter avec de tels problèmes arithmétiques célèbre difficiles.
Comment faire pour accélérer les progrès, combien il est devenu plus riche en mathématiques possibles quand elle se leva sur ses pieds et a été définitivement établi l'algèbre, a immédiatement gagné ses droits de citoyenneté! Il est arrivé à la Renaissance - mille ans après l'apparition de la géométrie et l'arithmétique.
Quant à la logique est aussi vieilles dames très respectables ( «Organon» d'Aristote créé à la même époque que le «commencement» d'Euclide), il y a une algèbre est pas immédiatement reçu la reconnaissance. Symboles et opérations logiques mathématiques ont eu lieu ou n'a pas le goût, ne pas manipuler les logiques milieu du XIX siècle. Et qui maîtrisent l'algèbre de Boole, pendant des décennies considérées amusant, mais inutile invention de l'esprit au repos. La situation a changé seulement à la fin du XIXe siècle, lorsque le front de la science dans toute la croissance a augmenté une tâche sérieuse - pour justifier les idées et les concepts les plus fondamentaux des mathématiques. la logique aristotélicienne, avec toute sa perfection, a été contraint de déposer les armes devant les difficultés insurmontables. Et puis, il a dû aller casquette à la main à la logique symbolique. Et il est clair pourquoi.
En son temps, l'examen de la réponse de la pile à l'article "Sur les traces des logiques catastrophes», publié dans la revue "Technologie - Jeunesse", l'auteur a trouvé beaucoup de refus de tous les célèbres paradoxes. Y compris le paradoxe Cervantes. sympathiser Sincèrement avec le pauvre Sancho, luttant pour ses lecteurs de podsobit autorisés sur diverses astuces casuistiques. Certains envisageaient des échappatoires sémantiques dans le libellé de la loi. Autre - étranger excentrique dans un communiqué. D'autres encore - dans la procédure d'exécution. Eh bien, certaines personnes l'ont fait. Il était possible dans la mesure où l'article a présenté une version populaire du paradoxe avec tous les attributs d'une situation de vie réelle. Mais formulé en termes de logique mathématique avec leur interprétation unique, ne permet pas d'ambiguïté, la contradiction apparaît devant nous dans toute sa fatale, inexorable, inévitable, essence indestructible. '' Bien sûr, les scientifiques ont attiré la sympathie et attire non seulement la gravité de cette situation et de définir sans ambiguïté, derrière les symboles de la logique mathématique. Apporter la construction de syllogismes à la transformation littérale, algèbre booléenne libéré les gens de la nécessité de garder à l'esprit le contenu des colis et des conclusions intérimaires. Tous les soins a été réduit à la surveillance de l'exactitude des calculs algébriques, rappelant solution du système, et cette sagesse est en mesure de comprendre, même un écolier.
Oui, loin un pas en avant les mathématiques et la logique depuis l'époque d'Aristote et Zénon. Появилась и успешно развивается теория доказательств - метаматематика. И тем не менее, несмотря ни на что, парадоксы с невозмутимостью Сфинкса, сквозь загадочно-насмешливую маску каменного колосса продолжают взирать на все ухищрения логистов, как они тысячелетия назад смотрели на наивные потуги опровергателей. Есть ли выход из тупика? Если да, то где он? Неужели есть вещи, недоступные человеческому разуму?
Бессильная в своем могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками. "Ну и что? - пожмет плечами читатель. - Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы все толкуете о каких-то там парадоксах..." Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики - тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта. Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже... формулировать новые!
Работая по программе, составленной американским ученым Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда "Основания математики"! Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы... Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей? Послушаем специалистов. "Имеется ряд результатов математической логики, - говорит А. Тьюринг, автор книги "Может ли машина мыслить?", - которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определенных ограничений возможностей машин... Наиболее известный из этих результатов - теорема Гёделя... Существуют определенные вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени".
А вот какого мнения придерживается "отец кибернетики" Норберт Винер: "Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов... Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определенному заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определенным правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий все увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела". Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами...
Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе "Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах". Там сказано: " В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг - это тоже "машина" с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для нее математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами". Неужели и тут "движенья нет"? Прежде чем окончательно уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберемся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики. Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно - лежа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, ученый, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: "Эврика!"
Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове "эвристика". Таким термином современные ученые пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления. Инженер денно и нощно бьется над какой-нибудь технической головоломкой. Он уже изрисовал чертежами ворох бумаги, он перечитал груду книг, он прибегал и к моделям и к расчетам. Увы, нужная конструкция "не вытанцовывается". Проходят часы, дни, недели... Мысль зашла в тупик. И отвязаться-то от идеи не отвяжешься: она неотступно стоит перед внутренним оком изобретателя. Вдруг... "Эврика!" И на бумагу ложится выстраданная бессонными ночами долгожданная находка. "Внезапное озарение", - говорит инженер. "Эвристическая деятельность", - говорят ученые. Технология этого мучительного и радостного творческого процесса - величайшая загадка природы. К пионерам науки об эвристике относят Декарта и Лейбница, великих математиков и философов своего времени. В их сочинениях эвристика зачастую отождествляется с интуицией. В книге "Правила для руководства ума" Рене Декарт четко отграничивает интуитивную форму познания от цепи последовательных логических умозаключений. Он рекомендует в ряде случаев "отбросить все узы силлогизмов, вполне довериться интуиции как единственно остающемуся у нас пути". О неосознаваемых сторонах мыслительного процесса, наряду с его логической структурой, говорили Бенедикт Спиноза, и Анри Пуанкаре, Альберт Эйнштейн и А. Колмогоров. Ситуации, когда нет готового алгоритма, готового набора правил для решения задачи, возникают на каждом шагу - в работе шахматиста и писателя, следователя и режиссера, врача и экономиста, А порой и вовсе не известно, разрешима ли задача вообще. Какими же путями бредет ищущая человеческая мысль?
Систематический перебор вариантов - вот что считалось одно время основой творческого процесса. На эту идею опиралось и конструирование кибернетических соперников человека, например электронных шахматистов. Но странное дело: машина проигрывала даже не ой каким сильным партнерам! А странное ли? Количество всевозможных позиций в шахматных партиях выражается невообразимо - чудовищно - огромным числом - единицей со ста двадцатью нулями! Надо сказать, что атомов во вселенной в миллиарды миллиардов раз меньше. Если бы вы в поисках наилучшего ответа на ход противника механически перебирали в уме все возможные ходы и их последствия, вы бы попали в такой цейтнот, что поседели бы за шахматной партией, так и не добравшись до эндшпиля. Между тем турнирный регламент отпускает, как известно, всего два с половиной часа на сорок ходов. И игроки укладываются в сроки. Значит, человек умеет какими-то неисповедимыми путями отсеивать никчемные варианты. И даже далеко вперед рассчитывать последствия необычных жертв. Вспомните изящные комбинации Морфи или Алехина! Машина же, при всем ее быстродействии, чаще всего занимается формальной комбинаторикой, далекой от подлинно творческой работы мысли. Правда, многое зависит от программы. Но вернемся к рассуждениям Таубе о возможном, вернее, о невозможном для умных машин.
"Гигантский искусственный мозг, машины-переводчики, обучающиеся машины, играющие в шахматы, понимающие машины и т. п., заполнившие нашу литературу, обязаны своим "существованием" людям, пренебрегающим сослагательным наклонением. В эту игру играют так. Сначала заявляют, что, если не учитывать незначительные детали инженерного характера, машинную программу можно приравнять самой машине.. Затем блок-схему программы приравнивают самой программе. И наконец, заявление, что можно составить блок-схему несуществующей программы для несуществующей машины, означает уже существование самой машины". Автор, правда, поясняет свою мысль на примере электронных переводчиков, а не шахматистов, но сути дела это не меняет. Итак, машине чужда интуиция. И если машине суждено переводить, то лишь формально. Между тем язык невозможно формализовать целиком и полностью. Хотя бы потому, что он включает в себя всю математику, а математика не сводится к формальной системе, это доказано. "Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству, - говорит американский ученый Рихард. Курант. - Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки". Самые строгие формалисты никогда всерьез не отрицали участия человеческой интуиции даже в тех математических выкладках и умозаключениях, когда ее вроде бы и не требовалось! (Слово "интуиция", замечает Таубе, употребляется здесь в смысле ничуть не более таинственном, чем обычные слова: "опыт", "ощущения".) Сказать "человек переводит неформально" - значит подчеркнуть, что в каждом акте перевода он пользуется своим арсеналом опыта и чувств. Кое-кто мог бы возразить: дескать, словесное выражение опыта и чувств - это уже не что иное, как их формализация! Отвечая на такой выпад своему предполагаемому оппоненту, Таубе приводит контраргумент: нет ни малейшего намека на то, что опыт и чувства можно исчерпывающе полно и абсолютно точно выразить словами. На эквивалентности всего словесно выразимого нашему опыту и чувствам способен настаивать только тот, кто отрицает свою принадлежность к человеческому роду, кто никогда не слушал музыку, не имеет представления о живописи, никогда не влюблялся и не был ничем глубоко захвачен. Вывод: переводить формально с одного человеческого языка на другой невозможно. А машина способна переводить только так, ведь ей чужда интуиция! Значит, "в свете известной неформальности языка и смысла, изыскания в области машинного перевода носят характер не истинно научных исследований, а романтического поиска... Нашим инженерам-электрикам и энтузиастам вычислительных машин следует либо прекратить болтовню об этом, либо принять на себя серьезное обвинение в том, что они сочиняют научную фантастику с целью пощекотать читателям нервы в погоне за легкими деньгами и дешевой популярностью".
Так считает Мортимер Таубе, профессор Колумбийского университета, специалист по программированию и применению электронных машин в области научной информации. Здесь было бы неуместно ввязываться в спор с профессором Таубе, это не входит в цели нашего разговора о логических несуразицах. Профессор, по-видимому, чуточку переборщил в своих пессимистических прогнозах, хотя в чем-то он, безусловно, глубоко прав. Нам гораздо важнее усвоить, что парадоксы отнюдь не забавные словесные выкрутасы, а самый настоящий пробный камень совершенства нашей мыслительной схемы.
Да, трудности, связанные с пониманием непрерывности, бесконечности, движения, еще в древние времена служили предметом жарких философских дискуссий. И это не прошло бесследно для научного прогресса. Апории Зенона, открытие иррациональных точек смутили античных геометров, помешали им развить искусство численных операций, заставили их искать выход из тупика в дебрях чистой геометрической аксиоматики. Стремление дать строгое непротиворечивое обоснование всем логическим и геометрическим построениям поглотило силы лучших умов древней Греции. Так, по словам Куранта, началось одно из самых странных и долгих блужданий в истории математики. При этом, по-видимому, были упущены богатые возможности. Груз древнегреческих геометрических традиций подавлял идею числа, он затормозил эволюцию арифметики и алгебры, цифрового и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук. Лишь в XVII столетии греческий идеал кристально чистой аксиоматики и дедукции, строгой в своей систематичности, потускнел в глазах ученых. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и "очевидных", взаимно не противоречащих постулатов, уже не импонировало революционному духу новой математики. Предавшись оргии интуитивных догадок, слепо вверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, пионеры дифференциального и интегрального исчисления открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Однако мало-помалу экстатическое состояние ума, упоенного головокружительными успехами, стало уступать место трезвости, сдержанности, критицизму. В XIX веке устои новой математики подверглись ревизии. Были предприняты энергичные попытки уяснить понятие предела, подразумеваемое математическим анализом. Классический идеал доказательной строгости, логической безупречности, отвлеченной общности торжествовал снова. Но тут, как и во времена Зенона, на арену теоретических исканий вдруг высыпала анархическая гвардия парадоксов. Ученые снова заметались в тревоге, спасая пошатнувшееся здание математики. Кризис продолжается и по сей день. Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. "С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, - отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, - борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти ученые сделали ряд ошибок и произвольных допущений: математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки дав методологию предельной процедуры." И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает "возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма - несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кепплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница".
Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!
Откроем монографию А. Н. Вяльцева "Дискретное пространство-время", изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовешь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет лежит в стороне от обычных исследовательских и тем паче журналистских троп. Почитайте ее и поразмыслите над такими словами ее автора: "Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу жа во всех относящихся к делу случаях речь идет о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперед перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощен в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.
Применение дифференциального исчисления к подсчету электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов дает хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии... Тогда придется оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических "лесов" и вступить в область оригинального математического творчества - в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из нее. Для продвижения вперед потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.
Какая это заманчивая задача - создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат еще не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат еще ждет своих Лагранжей и Гамильтонов!"
Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдет математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершенным, застывшим в своем развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, ее ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины. Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твердо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения. Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идет человеческий мозг в своем стремлении достигнуть истинного знания. Как далек век Ньютона от века Зенона! Но еще дальше ушли мы от века Ньютона. По объему накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно все, что следует за восклицанием: "Эврика!" Но нам еще предстоит узнать то, что ему предшествует - в недрах человеческого мозга. Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приемов 5 и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперед в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил "Логики" (с большой буквы), то он оставил логику "Капитала". Если бы удалось овладеть приемами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки - в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведенных примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский ученый, автор нашумевшей книги: "Предвидимое будущее", заявил: "...наш век знаменует собой начало науки о мышлении". И эта наука не стоит на месте.

А как же все-таки быть с парадоксами? Неужели ограниченность математики и кибернетики непреодолима? Вместо ответа разрешите пересказать поучительную притчу-парадокс, которая появилась в начале сороковых годов и с тех пор не менее десяти раз дискутировалась в серьезном философском журнале "Майнд", издающемся в Великобритании. Жил-был пират по кличке Черная борода. Долго держал он в страхе торговые корабли. В один прекрасный день грозный морской браконьер оказался за решеткой. Его приговорили к повешению. "Казнь свершится в полдень, в один из семи дней следующей недели, - сказал судья преступнику. - И мы заготовили для тебя маленький сюрприз: ты не будешь знать заранее, в какой именно день тебя вздернут на виселицу. Об этом тебе сообщат лишь утром того самого рокового дня, когда перед тобой разверзнутся врата ада. Так что тебя постигнет неожиданное возмездие". Судья слыл человеком слова. И Черная борода помрачнел, отлично представляя себе, что такое мучительная неизвестность ожидания внезапной смерти. Теперь уж ему не заснуть спокойно ни в одну из ночей. Ох, и жестокий же он был человек, этот судья! Однако адвокат пирата только посмеивался. "Не вешай нос! - хлопнул он по плечу своего подзащитного, когда они остались вдвоем. - Приговор осуществить невозможно". Черная борода вытаращил глаза. "Да-да, невозможно, - продолжал адвокат. - Совершенно очевидно, что они не смогут повесить тебя в следующую субботу. Ибо суббота - последний день недели. И если бы ты оставался цел и невредим в пятницу после полудня, то ты смекнул бы с полной уверенностью, когда именно будет приведен в исполнение приговор, - на другой день, в субботу. Таким образом, ты знал бы о времени казни накануне, то есть раньше, чем тебе сообщили бы об этом в субботу утром. Остается пятница. А теперь поразмысли-ка: ведь пятница - последний день перед субботой. В субботу тебя не повесят. Выходит, казнь должна быть назначена самое позднее на пятницу. Но они не вправе так поступить, ибо ты опять знал бы об этом уже в четверг после полудня! Понятно, что в пятницу тебе тоже не грозят никакие неприятности. Остается вроде бы четверг. Ничуть не бывало! О казни в четверг ты знал бы опять-таки накануне - в среду. Тогда, быть может, среда? Тоже нет: о своей гибели в этот день ты знал бы во вторник. И так далее - вплоть до завтрашнего дня. Но завтра они тебя не повесят, ибо ты уже сегодня знаешь, что завтрашний день - последний, когда должно свершиться правосудие. Поэтому ложись спать и будь спокоен: приговор неосуществим". "Тысяча чертей! - возликовал пират, потрясенный железной логикой адвоката. - Не будь я Черной бородой, если вы не правы, сэр!" Старый разбойник неожиданно ускользнул из-под меча, занесенного карающей десницей Фемиды. Так по крайней мере считали многие ученые вплоть до 1951 года, как вдруг... В июле того же года в том же журнале "Майнд" появилась статья профессора логики Майкла Скривена. Вот ее суть, переданная в тех же образах. В один из дней на следующей неделе, кажется, в "черную пятницу", безмятежно спавшего пирата разбудил звон ключей. Двери камеры распахнулись со скрипом. "Вы пришли меня освободить?" - ухмыльнулся пират и... обомлел: вместе с тюремщиком в камеру ввалился палач. "Мы пришли сказать тебе, что казнь назначена на сегодня", - с мрачной невозмутимостью ответили гости. '"Но на каком основании?!" - возмутился Черная борода. Действительно, на каком основании? Неужто ошибся адвокат, этот дока по части казуистических вывертов? Нет, не ошибся. Его умозаключения были безукоризненно правильными. И из них совершенно неотвратимо вытекало следствие, именуемое логическим про-тиворечием - парадоксом. Но... Ох, уж это вездесущее "но"! Без него не обошлось и тут, где вроде бы все с такой ясностью, с такой логической прозрачностью свидетельствовало о бессилии зако-нов перед анархией парадокса. А между тем человеческая реальность оказалась сильнее логического парадокса. Когда адвокат убедил пирата в безнаказанности, Черная борода, уверенный в логической ошибке судьи, перестал ждать уготованной ему расплаты. Стало быть, визит палача и предупреждение о сроке казни действительно явились неожиданностью для преступника! Перечитайте еще раз приговор, и вы убедитесь, что он приведен в исполнение в полном соответствии с законом, причем не только юридическим, но и логическим. Не ждет ли столь же бесславная кончина и теперешние логические парадоксы? Не подпишет ли им смертный приговор наука завтрашнего дня? "Нет!" - вещает холодный рассудок, слепо подчиняющийся кодексу нынешней логики и безоговорочно капитулирующий перед парадоксами. Так рассуждал Зенон Элейский. Так рассуждал Курт Гёдель. Так рассуждает и Мортимер Таубе, доводы которого журнал "Знание - сила" окрестил "возражениями адвоката дьявола". Но ведь так же точно рассуждал и самоуверенный адвокат из рассказа о Черной бороде! И оконфузился, опровергнутый живой реальностью. Кстати, об "адвокате дьявола". В соответствии с требованиями католической религии к лику святых мог быть причислен лишь тот, кто еще до своего "успения", до своей кончины, успевал свершить минимум два чуда. И вот преподобные отцы приступали к обряду канонизации, устраивая инсценированное судилище, где фигурировал "адвокат дьявола". Он подвергал сомнению чудеса, требовал доказательств их свершения. Именно так скептик Таубе, апеллируя к дьявольскому наследию парадоксов, сомневается в сенсационных успехах кибернетики и не меньше в посулах ее энтузиастов, требует доказать реальность кибернетических чудес, картинно расписанных в многочисленных статьях и книгах. Энтузиасты, разумеется, недолюбливают скептиков. А ведь критика, исходившая от скептиков, не раз помогала энтузиастам стать точнее, определеннее, строже в выводах, что в конечном счете шло на пользу науке. И проблема, зашедшая в тупик, рано или поздно оказывалась сдвинутой с мертвой точки.
В 1900 году в Париже состоялся международный математический конгресс. На нем известный ученый Давид Гильберт изложил тридцать математических проблем. Формулировались они чрезвычайно просто, порой даже совсем элементарно и популярно. Однако ни одна из них в то время не была решена. Более того: не подавала надежды на возможность решения. Минули десятилетия. За это время мало-помалу почти все "неразрешимые" задачи были решены. И во многих случаях благодаря тому, что математики, взбудораженные проблемами Гильберта, обогатили науку новыми, более глубокими, более совершенными методами. То, что казалось безнадежно трудным в 1900 году, стало по плечу новой математике. Неужто же непрерывный прогресс в математической логике не приведет рано или поздно и к разрешению парадоксов? Уже достигнуты определенные успехи в этом направлении. (Например, созданная Расселом "теория типов" в какой-то мере обезвреживает парадокс брадобрея.) Да, именно скептики не раз помогали энтузиастам сдвинуть науку с мертвой точки. Парадоксально, но несомненно - чтобы началось движение, потребовалось сказать:
- Движенья нет!