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Programmation mathématique - Nakonechny S.І.

8.8.2. Méthode Razv'yazuvannya des tâches d'un programme quadratique

De manière significative, nous pouvons voir que la théorie des fonctions est également ferme: cela signifie que la forme quadratique est courbée et qu'elle est marquée de manière significative par un conduit.

Il existe une vue claire de la forme quadratique, qui est incluse dans la fonction des tâches du programme quadratique .

max (8.42)

; (8.43)

. (8.44)

Oskilki tsіlova funktsiya exécute des tâches avec un cube et des lignes d’entrelacement, de sorte que vous puissiez désigner un cube comme le nombre de chemins admissibles, la tâche étant alors de suivre les tâches du programme convexe, pour lesquelles vous disposez d’un maximum d’espace. À partir de maintenant, réfléchissez aux théorèmes de Kuhn - Tucker pour les problèmes (8.42) - (8.44). Enfin, vous devez connaître le plan optimal pour un observateur doté de tels théorèmes.

Théorème 8.6. Vector X * є la solution optimale au problème de la programmation quadratique de Todi, i Todi, si tant que m- vecteur i vecteur n -vimіrny , pensons penser:

(Je) . ; (8.45)

(ІІ) . ; (8.46)

(ІІІ) . ; (8.47)

(IV) . . (8.48)

Rapporté . Nous écrivons la fonction de Lagrange pour le problème de programme quadratique (8.42) - (8.44):

+ . (8.49)

Nekhai - un point de fonction de Lagrange, c'est-à-dire un signe d'un plan optimal de problèmes d'un programme quadratique. Le théorème 8.4 est énoncé avant viraz (8.49). Derrière le théorème pour ce point Tout d’abord, le plan optimal, l’image nécessaire et adéquate de l’esprit (8.38) - (8.41):

pour peut venir autour d'umova:

. (8,50)

aussi bien (8.51)

mais pour peut venir autour d'umova:

. (8.52)

aussi bien . (8.53)

Vizmemo deux vecteurs cela , dont les composants seront présentés comme les plus importants de la région (8.50) et (8.52). Pour tso viberemo apparemment dans apparemment . De même viberemo apparemment dans apparemment . Maintenant, vecteur composant Dodamo y (8.50) en віднімемо les composants du vecteur vid (8,52). Règles de Vrakhovuchi pour la vibration des composants de vecteurs, pour (8.50):

. .

Sons: , pour (8.51), maєmo:

.

De même, pour un autre groupe, obmezhen:

. .

Les sons à .

Théorème apporté.

En guise de théorème, il est possible d’induire la méthode efficace de développement des tâches d’un programme quadratique basée sur l’algorithme simplex.

Umovi (8.45) - (8.49) approuve complètement système ( n + m ) rivnyan z 2 ( n + m ) nevidomimi.

Umovi (8,47) et (8,48) moyenne les mères ne peuvent pas être évaluées immédiatement, car elles entrent immédiatement dans la base. Yakshko deyakі k composante du vecteur de plus, la composante du vecteur V est plus nulle et inférieure ( nk ), la composante est nulle (plus). Otzhe, à la fois être mères pas plus grand que n composantes. З analogíchni mіrkuvany schіdo rіvnostі (8.48) viplivaє, scho immédiatement S'il y a n + m composants nuls, la séparation de base du système peut être entièrement approuvée par les esprits (8.45) et (8.47). Pour une telle connexion, la méthode simplex peut être corrigée.

Le système étant défini comme un plan valide (gagnant en sera un), le plan optimal pour les tâches générales d'un programme quadratique est également connu.

Système Razv'yazuєmo rivnyan (8.45) en (8.47) par la méthode du simplexe. Yak vidomo, sur place, il est nécessaire d'amener le système obmezhny à une forme canonique introduite aux exigences du nombre requis de dodatyh et de pièces. Pour l'introduction du système à la forme canonique et la désignation du plan de support en épis, des pièces sont introduites à la vue de (8.45), yakі sera la base du premier plan de base, et zminni - au groupe rivnyan (8,47), ainsi que la base du plan en torchis. Potim pour le signe de l’interconnexion de base du système (8.45), échange (8.47) par la méthode simplex, c’est la tâche du programme linéaire:

max (8.54)

par drain:

(8.55)

. (8.56)

En conséquence, au cours du processus de développement des tâches (8.54) - (8.56), toutes les pièces seront affichées dans une base. et à la fois pour l'importance de la moyenne réfléchissez-y (8.46), (8.48), puis connaissez le plan optimal pour résoudre le problème de la programmation quadratique (8.42) - (8.44).

Razv'yazat tâche d'un programme quadratique:

par drain:

Razv'yazannya . Oskilki tsilova funktsiya se courbent dans la somme des fonctions linéaires cette forme quadratique , et le système est séparé par le linéaire, alors le problème est la programmation quadratique.

Forme visiblement quadratique , pour lequel il existe une racine de caractéristique caractéristique, qui est appariée, associée à un certain nombre de fonctions ayant les fonctions suivantes:

.

Caractéristiques caractéristiques des matrices Avec :

Oskіlki insultant les racines du vid'nmni rivnien caractéristique, puis la forme quadratique J'ai beaucoup signifié, et plus tard, avec un renflement.

Nous écrivons la fonction Lagrange pour les tâches:

.

Corollaire au théorème 8.4. Neobkhіdnі umov іsnuvannya extremumu matimut viglyad:

;

;

.

de - les coordonnées du point.

Obmezhennya, scho vіdpovіdayayut irrégularités, peut être écrit dans le texte:

Introduit des données supplémentaires pour la réduction des bosses au niveau:

Pour les tâches à la forme canonique, on peut multiplier la peau de la peau par (–1):

De toute évidence, à cette époque, il est nécessaire d’introduire deux choses en premier lieu. La troisième rivnyanny basic basic . MAєmo taku tâche du programme linéaire:

.

.

Razv'yazavshi її par la méthode du simplexe, nous cannibalisons:

Neobkhidno perevriti vikonannya esprits:

;

;

.

Tous savent comment venir, bon Dieu, avec le point de Lagrange de la fonction de Lagrange pour le problème de programme quadratique, et - le plan optimal des tâches, pour une fonction significative de la route:

.