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Programmation mathématique - Nakonechny S.І.

8.4.2. Méthode du multiplicateur de Lagrange

Idée pour la méthode de multiplication de la polyagie de Lagrange dans le domaine des tâches simples. Pour l’intégralité de la fonction, remplacez-la par un plus grand nombre de personnes, y compris vous-même, y compris en tant que présage. Après une telle réinterprétation, développement ultérieur des tâches du terrain dans le nouvel extrême de nouvelles fonctions, aucun échange supplémentaire n’est imposé aux précédents. Pour commencer avec les tâches permettant de créer un extremum intelligent, nous passons à des tâches qui sont folles de la valeur extrême d’une fonction d’incitation. Désormais, le zavadyaki à une telle re-création est plus susceptible d’englober les méthodes de la connaissance classique de l’extremum des fonctions de la société.

Dans le paragraphe précédent, la compréhension nécessaire de l'extremum local des fonctions continues et différenciées de deux variables est indiquée.

Zagagalnennya nécessaire, rappelez-vous la reconnaissance des fonctions locales extremum n zminіnnyh maє analogіngnyy viglyad. Désormais, pour développer des tâches, il est nécessaire de connaître le nombre total de nouvelles fonctions nouvelles pour la peau, et de les rétablir à zéro. En conséquence, le système rivima est jante. Її rozv'yazok viznachaє si zvanі point de statsіonarnі, Sereda yakih Oui je shukanі ekstremalnі valeurs funktsії.

Jetons un coup d’œil à la méthode du multiplicateur de Lagrange pour élargir les tâches du programme non linéaire, qui peut être vue:

(8.6)

par drain:

(8.7)

de fonction dans Mayuyut buti différenciation.

Problème (8.6), (8.7) pôle dans l'extremum retrouvé des fonctions pour l'esprit du curé .

Passons maintenant à la tâche de faire un extremum fou. Dans la littérature [13, 28], il a été théoriquement démontré que les déclarations et la définition de telles tâches sont équivalentes.

Fonction de prix Zamіnuєmo (8.6) pour le pliage. La fonction s'appelle la fonction Lagrange et ce genre de manœuvre:

(8.8)

de - Deyakі nevidomі taille, scho sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

Nous connaissons les technologies de pointe les plus fréquentes jusqu'à zéro:

(8.9)

Un ami du système rivie system (8.9) s’occupe du week-end d’esprit (8.7) des tâches cob du programme non linéaire.

En règle générale, le système (8.9) n’est pas linéaire.

Rosvazykami є dans - points stationnaires. Si vous voulez supprimer la chaîne de la nécessité de penser à l'extremum, alors vous devez reconnaître le maximum, au moins les tâches (8.6), (8.7), mais vous pouvez être capable de franchir les points (points symboliques).

Pour le diagnostic des points stationnaires et l'identification du type d'extremum, vous devez convertir les pensées supplémentaires en extremum, de manière à atteindre les prochains points stationnaires de différenciation d'un autre ordre (en règle générale pour les fonctions pour comprendre les autres parties de la vie et la puanteur de sans interruption).

Il faut donner la règle suivante: pour la fonction de Lagrange (8.8), je disposerai de la matrice de Hessian, qui bloquera la structure de la rosma :

de О - matrice rozmіrnіstyu , stocker hors de zéro articles,

R - matrice rozmіrnіstyu Les éléments sont les suivants:

.

- matrice transposée à R rozmіrnіstyu .

Q - matrice rozmіrnіstyu esprit:

de .

Nous voyons clairement le signe d’une interconnexion extrême du système (8.9). Nekhay statsionarna point maє coordonnée dans .

1. Point є avec un point maximum, le plus probable, réparant à partir de l'ordre mineur principal ( m + 1), les matrices mineures offensives ( n - m ), N, confirment le dernier chiffre, le signe du premier terme doit être marqué d'un multiplicateur .

2. Point є le point du minimum, le plus probable, réparant l'ordre mineur principal ( m + 1), le signe de l'offensive ( n - m ) des matrices mineures menant H est un multiplicateur .

Jetons un coup d’œil à la tâche, expliquons comment elle est connue par la méthode du multiplicateur de Lagrange.

Le partenariat entre Aktsionerne et Obmezhenoyu vіdpovіdalnіstyu a permis de découvrir 1 200 hectares de culture principale de culture sichkogospodarskie - blé d’hiver et buryaki de céréales.

À la table 8.1 maєmo indicateurs techniques et économiques de viroshuvannya de ces cultures:

Tableau 8.1

Indicateur

Blé d'hiver x 1 cent hectares

Tsukrovі buryaki x 2, cent hectares

Récolte, t / ha

4

35

Prix, UAH / t

800

300

Sobіvartіst, UAH / t

Il est nécessaire de connaître la zone optimale de blé d'hiver et de buryak tsukrovih.

Nekhay: x 1 - superficie de blé d'hiver, des centaines d'hectares;

x 2 - zone de paille de mauvaises herbes tsukrovimi, des centaines d'hectares.

Je respecte respectueusement ceux qui ont le tonnage de blé et de céréales Bouriak à se coucher au milieu de la place.

Nous écrivons un modèle économique et mathématique du problème. Critère d'optimalité du revenu maximum du revenu net:

par drain:

Nous écrivons la fonction Lagrange:

Parties privées et priors supérieurs à zéro:

A partir du système de coordonnées, la coordonnée des points est déterminée. Du premier et de l'autre rivnyanno, l1 est connu, virazi primitif, maєmo:

(8.10)

mais après avoir traversé 100 parties offensives et levé les bras, nous avons nié:

. (8.11)

Du reste du système de mère: .

Pіdstavimo viraz pour vous dites (8.11). Otrimaєmo:

abo

Ozhe ;

.

(553 ha);

(178 ha).

Відповідно дістаємо:

ha);

ha).

Toboto a secoué deux points:

Peremirimo pour l'autre bien-être dostnovnogo іsnovannya ekstremumu haste s_dlovu point .

La matrice de Hesse est si vigoureuse:

Matrice de Hesse .

Pour des raisons de règle, sur rendez-vous, c’est viznacho голов tête, tête нори minori, qui la fixe au second ordre ( ):

.

.

A partir de maintenant, le chef mineur approuvera la série de signes, qui peut être réparée à partir du mineur de tête du 2e ordre, le mineur à venir est indiqué tobto є pointez vers le maximum.

Valeur comptable de la fonction en prix:

Calcul analogue pour un point montrer, ce qui ne sera pas extrême.

À partir de maintenant, tsilova funktsiya nabuda a une valeur maximale, en règle générale, le blé d'hiver viroshchuvatsya sur une superficie de 647 hectares et les forêts de betteraves chukrovi - sur une superficie de 553 hectares.

La méthode du multiplicateur de Lagrange peut être étouffée en même temps lors de la manifestation du signe pour les signes de l'inverse et l'intersection d'irrégularités.

Jetons un coup d’œil à cette tâche dans le titre viglyad:

.

pourquoi toutes les fonctions devraient-elles être incluses dans la tâche, pour choisir les plus différenciées, une fois seulement?

De toute évidence, l’introduction à la partie vivante des irrégularités du système et la tâche de mener à bien les tâches les moins importantes Je vais réécrire la tâche cob de manière à venger plus d'objezhneny-rivnosti, afin que, pour la forme et la méthode de développement, je veuille résoudre le problème (8.6), (8.7). ].